ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Разбор — 3 балла

а) Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны. Из точки $A$ к вписанной окружности проведены касательные $AF$ и $AP$, поэтому $AF=AP$, и треугольник $FAP$ равнобедренный с основанием $FP$.

Все стороны ромба равны, поэтому $AB=AD$, и треугольник $BAD$ тоже равнобедренный с основанием $BD$.

У этих треугольников общий угол при вершине: точки $F$ и $P$ лежат на сторонах $AB$ и $AD$, поэтому $\angle FAP=\angle BAD$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому

$$\angle AFP=\frac{180^{\circ }-\angle FAP}{2}=\frac{180^{\circ }-\angle BAD}{2}=\angle ABD.$$

Углы $AFP$ и $ABD$ — соответственные при прямых $FP$, $BD$ и секущей $AB$. Они равны, значит, по признаку параллельности прямых $FP\parallel BD$. Что и требовалось доказать.

б) Точно так же рассмотрим вершину $D$. Касательные $DP$ и $DK$ равны, стороны $DA$ и $DC$ ромба равны, и угол при вершине $D$ у треугольников $PDK$ и $ADC$ общий. Повторяя рассуждение пункта а), получаем

$$\angle DPK=\frac{180^{\circ }-\angle ADC}{2}=\angle DAC,$$

а значит, $PK\parallel AC$ (равны соответственные углы при секущей $AD$).

Диагонали ромба перпендикулярны: $BD\perp AC$. Прямая $FP$ параллельна $BD$, прямая $PK$ параллельна $AC$, поэтому и $FP\perp PK$, то есть $\angle FPK=90^{\circ }$.

Точки $F$, $P$, $K$ лежат на вписанной окружности, и вписанный угол $FPK$ прямой. Вписанный прямой угол опирается на диаметр, значит, $FK$ — диаметр. По теореме Пифагора в треугольнике $FPK$:

$$F{K}^2=F{P}^2+P{K}^2=12^2+5^2=169,FK=13.$$

Центр вписанной окружности ромба — точка $O$ пересечения его диагоналей: диагонали ромба являются биссектрисами его углов, а центр вписанной окружности лежит на биссектрисах. Диаметр $FK$ проходит через центр, поэтому

$$OF=OK=\frac{13}{2}.$$

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: $OF\perp AB$, то есть $\angle OFB=90^{\circ }$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $FPK$ и $OFB$:

• $\angle FPK=\angle OFB=90^{\circ }$;
• $\angle PFK=\angle FOB$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $FP$ и $BD$ и секущей $FK$ (она проходит через $O$).

Значит, треугольники подобны по двум углам, причём вершине $P$ соответствует $F$, вершине $F$ — $O$, вершине $K$ — $B$. Отношения соответственных сторон равны:

$$\frac{FP}{OF}=\frac{FK}{OB}\Rightarrow OB=\frac{OF\cdot FK}{FP}=\frac{\frac{13}{2}\cdot 13}{12}=\frac{169}{24}.$$

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, поэтому

$$BD=2OB=\frac{169}{12}.$$

Ответ: б) $\frac{169}{12}$.