ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — параллелограммы

Разбор — 3 балла

а) Обозначим $\angle CAD=\phi$, тогда по условию $\angle BAC=2\phi$. Луч $AL$ — биссектриса угла $BAC$, поэтому

$$\angle BAL=\angle LAC=\phi .$$

В параллелограмме $AD\parallel BC$, поэтому углы $BCA$ и $CAD$ равны как накрест лежащие при секущей $AC$:

$$\angle BCA=\angle CAD=\phi .$$

Рассмотрим треугольники $BAC$ и $BLA$:

• угол $B$ у них общий (точка $L$ лежит на отрезке $BC$);
• $\angle BCA=\angle BAL=\phi$.

По двум углам $△BAC\sim △BLA$, причём вершине $B$ соответствует $B$, вершине $C$ — $A$, вершине $A$ — $L$. (Третьи углы тоже равны: $\angle BLA$ — внешний угол треугольника $ALC$, и $\angle BLA=\angle LAC+\angle LCA=2\phi =\angle BAC$.)

Отношения соответственных сторон равны:

$$\frac{AC}{LA}=\frac{BC}{BA}\Rightarrow AL\cdot BC=AB\cdot AC.$$

Что и требовалось доказать.

б) Пусть $O$ — середина $AC$: $AO=OC=12$.

В треугольнике $ALC$ углы при стороне $AC$ равны: $\angle LAC=\angle LCA=\phi$. Значит, он равнобедренный ($LA=LC$), и его медиана $LO$, проведённая к основанию, является высотой: $LO\perp AC$.

В треугольнике $AEC$ по условию $AE=CE$, поэтому медиана $EO$ тоже является высотой: $EO\perp AC$.

Через точку $O$ проходит единственная прямая, перпендикулярная $AC$, значит, точки $L$, $O$, $E$ лежат на одной прямой — серединном перпендикуляре к $AC$. Точка $L$ лежит на стороне $BC$, то есть по ту же сторону от диагонали $AC$, что и $B$. Точка $E$ лежит на луче $CD$, то есть по ту же сторону, что и $D$. Вершины $B$ и $D$ параллелограмма лежат по разные стороны от диагонали $AC$, поэтому $O$ лежит между $L$ и $E$:

$$EL=EO+OL.$$

Из прямоугольного треугольника $AOL$ (угол $O$ прямой, $\angle LAO=\phi$, $\mathrm{tg}\phi =\mathrm{tg}\angle BCA=\frac{1}{4}$):

$$OL=AO\cdot \mathrm{tg}\phi =12\cdot \frac{1}{4}=3.$$

Теперь найдём угол $ACE$. Точка $E$ лежит на луче $CD$, поэтому $\angle ACE=\angle ACD$. В параллелограмме $AB\parallel CD$, поэтому углы $ACD$ и $BAC$ равны как накрест лежащие при секущей $AC$:

$$\angle ACE=\angle BAC=2\phi .$$

По формуле тангенса двойного угла:

$$\mathrm{tg}2\phi =\frac{2\mathrm{tg}\phi }{1-{\mathrm{tg}}^2\phi }=\frac{2\cdot \frac{1}{4}}{1-\frac{1}{16}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{15}{16}}=\frac{8}{15}.$$

Из прямоугольного треугольника $COE$ (угол $O$ прямой):

$$EO=CO\cdot \mathrm{tg}\angle OCE=12\cdot \frac{8}{15}=\frac{32}{5}.$$

Тогда

$$EL=EO+OL=\frac{32}{5}+3=\frac{47}{5}.$$

Ответ: б) $\frac{47}{5}$.