ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

а) Пусть $O$ — центр вписанной окружности, $r$ — её радиус.

Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла $ABC$, поэтому

$$\angle OBC=\frac{60^{\circ }}{2}=30^{\circ }.$$

Пусть $H$ — точка касания окружности со стороной $BC$. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $OH\perp BC$ и $OH=r$. В прямоугольном треугольнике $BHO$ катет $OH$ лежит против угла $30^{\circ }$, а такой катет равен половине гипотенузы. Значит,

$$BO=2OH=2r.$$

Отрезок $OM$ — тоже радиус, проведённый в точку касания, поэтому $OM=r$ и $OM\perp AC$.

Возможны два случая.

Если точка $O$ лежит на отрезке $BM$, то $BM=BO+OM=2r+r=3r$. Так бывает, когда биссектриса $BO$ совпадает с перпендикуляром $BM$ к стороне $AC$, то есть когда треугольник $ABC$ равнобедренный с вершиной $B$, а при угле $60^{\circ }$ — равносторонний.

Если точка $O$ не лежит на отрезке $BM$, то она не лежит и на прямой $BM$: внутри треугольника эта прямая проходит как раз по отрезку $BM$, а $O$ — внутренняя точка треугольника. Тогда $B$, $O$, $M$ — вершины треугольника, и по неравенству треугольника

$$BM<BO+OM=2r+r=3r.$$

В обоих случаях $BM⩽3r$. Что и требовалось доказать.

б) По условию $BM=2,8r<3r$, поэтому $BOM$ — настоящий треугольник со сторонами $BO=2r$, $OM=r$, $BM=2,8r$. Запишем для него теорему косинусов, выразив сторону $BO$ через угол $BMO$:

$$B{O}^2=B{M}^2+O{M}^2-2\cdot BM\cdot OM\cdot \cos \angle BMO,$$

$$4r^2=7,84r^2+r^2-2\cdot 2,8r\cdot r\cdot \cos \angle BMO.$$

Разделим на $r^2$ и выразим косинус:

$$5,6\cos \angle BMO=8,84-4=4,84,\cos \angle BMO=\frac{4,84}{5,6}=\frac{484}{560}=\frac{121}{140}.$$

Теперь свяжем угол $BMC$ с углом $BMO$. Так как $OM\perp AC$, угол $OMC$ прямой. Точки $B$ и $O$ лежат по одну сторону от прямой $AC$, поэтому луч $MB$ лежит либо между лучами $MO$ и $MC$, либо между лучами $MO$ и $MA$. В первом случае $\angle BMC=90^{\circ }-\angle BMO$, во втором $\angle BMC=90^{\circ }+\angle BMO$. Оба случая возможны: всё зависит от того, какая из сторон $AB$ и $BC$ длиннее.

По формулам приведения в обоих случаях

$$\sin \angle BMC=\sin \left(90^{\circ }\pm \angle BMO\right)=\cos \angle BMO=\frac{121}{140}.$$

Ответ: б) $\frac{121}{140}$.