В параллелограмме ABCD проведены биссектрисы углов A и C… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Параллелограммы средняя 2026 развёрнутое

В параллелограмме $A B C D$ проведены биссектрисы углов $A$ и $C$ , пересекающие $B C$ и $A D$ в точках $K$ и $M$ соответственно. $A K$ пересекает $B D$ в точке $P$ , $C M$ пересекает $B D$ в точке $F$ . Известно, что $P F = 1$ , $B C = 5$ , $A B = 3$ .

а) Докажите, что треугольник $A B D$ прямоугольный.

б) Найдите площадь четырёхугольника $K P F C$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Параллелограмм ABCD, четырёхугольник KPFC

а) Прямые $B C$ и $A D$ параллельны, поэтому $∠ B K A = ∠ K A D$ как накрест лежащие при секущей $A K$ . Так как $A K$ — биссектриса, $∠ K A D = ∠ B A K$ . Значит, $∠ B K A = ∠ B A K$ , треугольник $A B K$ равнобедренный и

$B K = A B = 3, K C = B C - B K = 2.$

Аналогично $∠ D M C = ∠ M C B$ как накрест лежащие при секущей $C M$ , а $∠ M C B = ∠ M C D$ , так как $C M$ — биссектриса. Треугольник $C D M$ равнобедренный, и

$D M = C D = A B = 3, A M = A D - D M = 2.$

Треугольники $B P K$ и $D P A$ подобны по двум углам: $∠ B P K = ∠ D P A$ как вертикальные, $∠ B K P = ∠ D A P$ как накрест лежащие при $B C ∥ A D$ . Отсюда

$\frac{B P}{P D} = \frac{B K}{A D} = \frac{3}{5}, B P = \frac{3}{8} B D .$

Треугольники $D F M$ и $B P K$ равны по стороне и двум прилежащим углам: $D M = B K = 3$ ; $∠ F D M = ∠ P B K$ как накрест лежащие при $B C ∥ A D$ и секущей $B D$ ; $∠ F M D = ∠ P K B$ , так как оба равны половине угла параллелограмма ( $∠ F M D = ∠ M C B = \frac{1}{2} ∠ C$ , $∠ P K B = ∠ K A D = \frac{1}{2} ∠ A$ , а $∠ A = ∠ C$ ). Значит,

$F D = B P = \frac{3}{8} B D .$

Так как $B P = \frac{3}{8} B D < \frac{5}{8} B D = B D - F D = B F$ , точки на диагонали идут в порядке $B$ , $P$ , $F$ , $D$ , поэтому

$P F = B D - B P - F D = B D - \frac{3}{8} B D - \frac{3}{8} B D = \frac{1}{4} B D .$

По условию $P F = 1$ , значит, $B D = 4$ .

Рисунок к решению

Сравним квадраты сторон треугольника $A B D$ :

$A B^{2} + B D^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5^{2} = A D^{2} .$

По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $A B D$ прямоугольный с прямым углом $B$ , что и требовалось доказать.

б) Треугольники $A B D$ и $C D B$ равны по трём сторонам ( $B D$ — общая, $A B = C D$ , $A D = C B$ ). Поэтому $∠ B D C = ∠ D B A = 9 0^{\circ}$ и

$S_{B C D} = S_{A B D} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot B D = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6.$

Четырёхугольник $K P F C$ получается из треугольника $B C D$ , если отрезать от него треугольники $B P K$ и $D F C$ :

$S_{K P F C} = S_{B C D} - S_{B P K} - S_{D F C} .$

Треугольники $B P K$ и $B D C$ имеют общий угол $B$ . Площади треугольников с общим углом относятся как произведения сторон, заключающих этот угол. Здесь $B P = \frac{3}{8} \cdot 4 = 1, 5$ :

$\frac{S _{B P K}}{S _{B D C}} = \frac{B P \cdot B K}{B D \cdot B C} = \frac{1 , 5 \cdot 3}{4 \cdot 5} = \frac{9}{40}, S_{B P K} = \frac{9}{40} \cdot 6 = 1, 35.$

У треугольников $D F C$ и $D B C$ общая высота $C D$ (так как $C D ⊥ B D$ ), а основания $D F = 1, 5$ и $D B = 4$ лежат на одной прямой. Поэтому их площади относятся как основания:

$\frac{S _{D F C}}{S _{D B C}} = \frac{D F}{D B} = \frac{1 , 5}{4} = \frac{3}{8}, S_{D F C} = \frac{3}{8} \cdot 6 = 2, 25.$

Получаем:

$S_{K P F C} = 6 - 1, 35 - 2, 25 = 2, 4.$

Ответ: б) $2, 4$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — параллелограммы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18