В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки K, P, M - центры граней AA₁B₁B, BB₁C₁C… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Параллелепипеды средняя 2026 развёрнутое

В кубе $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ точки $K, P, M -$ центры граней $A A_{1} B_{1} B, B B_{1} C_{1} C, A B C D$ соответственно.

а) Докажите, что $D_{1} K P M -$ правильная пирамида.

б) Найдите объём этой пирамиды, если ребро куба равно $24.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Пирамида D₁KPM

а) Центр квадрата — точка пересечения его диагоналей, то есть середина каждой диагонали. Поэтому

$K — середина A B_{1}, P — середина B_{1} C, M — середина A C .$

Стороны треугольника $A B_{1} C$ — диагонали трёх равных квадратов (граней куба), поэтому они равны, и треугольник $A B_{1} C$ правильный. Отрезки $K P$ , $P M$ , $M K$ — его средние линии, каждая равна половине соответствующей стороны:

$K P = P M = M K = \frac{1}{2} A C .$

Значит, основание $K P M$ — правильный треугольник.

Сравним боковые рёбра. Ребро $D_{1} A_{1}$ перпендикулярно грани $A A_{1} B_{1} B$ , поэтому $D_{1} A_{1} ⊥ A_{1} K$ , и треугольник $D_{1} A_{1} K$ прямоугольный. Точно так же $D_{1} C_{1} ⊥ (B B_{1} C_{1} C)$ и $D_{1} D ⊥ (A B C D)$ , поэтому треугольники $D_{1} C_{1} P$ и $D_{1} D M$ прямоугольные с прямыми углами при $C_{1}$ и $D$ . У всех трёх треугольников один катет — ребро куба, а другой — половина диагонали грани:

$D_{1} A_{1} = D_{1} C_{1} = D_{1} D, A_{1} K = C_{1} P = D M .$

Треугольники равны по двум катетам, поэтому

$D_{1} K = D_{1} P = D_{1} M .$

Пусть $D_{1} O$ — высота пирамиды. Прямоугольные треугольники $D_{1} O K$ , $D_{1} O P$ , $D_{1} O M$ имеют общий катет $D_{1} O$ и равные гипотенузы, поэтому $O K = O P = O M$ . Значит, $O$ — центр описанной окружности правильного треугольника $K P M$ , то есть его центр.

В основании пирамиды лежит правильный треугольник, а высота падает в его центр, следовательно, $D_{1} K P M$ — правильная пирамида, что и требовалось доказать.

Рисунок к решению

б) Диагональ грани $A C = 242$ , поэтому сторона основания пирамиды

$K P = P M = M K = 122 .$

Найдём боковое ребро из прямоугольного треугольника $D_{1} D M$ , где $D M = \frac{1}{2} B D = 122$ :

$D_{1} M^{2} = D D_{1}^{2} + D M^{2} = 576 + 288 = 864.$

Рисунок к решению

Пусть $K H$ — медиана правильного треугольника $K P M$ . Она же его высота:

$K H = K P \cdot sin 6 0^{\circ} = 122 \cdot \frac{3}{2} = 66 .$

Центр $O$ правильного треугольника делит медиану в отношении $2 : 1$ , считая от вершины:

$O K = \frac{2}{3} K H = 46 .$

Боковые рёбра равны, поэтому $D_{1} K^{2} = D_{1} M^{2} = 864$ . Из прямоугольного треугольника $D_{1} O K$ по теореме Пифагора

$D_{1} O = D_{1} K^{2} - O K^{2} = 864 - 96 = 768 = 163 .$

Площадь основания:

$S_{K P M} = \frac{( 12 2 ) ^{2} 3}{4} = \frac{288 3}{4} = 723 .$

Объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{K P M} \cdot D_{1} O = \frac{1}{3} \cdot 723 \cdot 163 = 1152.$

Ответ: б) $1152$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — параллелепипеды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15