В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки и а на окружности другого основания — точки и причём — образующая цилиндра, а отрезок пересекает ось цилиндра.
a) Докажите, что угол прямой.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
а) Пусть и — центры нижнего и верхнего оснований, — ось цилиндра, она перпендикулярна плоскостям оснований. Проведём образующую , где — точка окружности нижнего основания. Образующая параллельна оси: .
Прямые и пересекаются, поэтому через них проходит плоскость . Она содержит прямую и точку , а значит, и прямую : через точку вне прямой проходит единственная прямая, параллельная данной, и она лежит в плоскости, содержащей эту прямую и точку. Поэтому .
Плоскость проходит через ось, значит, пересекает плоскость нижнего основания по прямой, проходящей через центр . Точки и лежат и на этой прямой, и на окружности основания. Они различны: если бы совпала с , отрезок был бы образующей и не пересекал бы ось. Прямая через центр пересекает окружность в концах диаметра, поэтому — диаметр нижнего основания.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой, поэтому , то есть .
Образующая перпендикулярна плоскости нижнего основания. Значит, — наклонная к этой плоскости, а — её проекция. Прямая лежит в плоскости основания и перпендикулярна проекции . По теореме о трёх перпендикулярах , то есть , что и требовалось доказать.
б) Образующие и параллельны, равны и перпендикулярны плоскостям оснований, поэтому — прямоугольник. Его противоположные стороны равны: .
Треугольник прямоугольный с прямым углом , по теореме Пифагора
— диаметр основания, поэтому радиус цилиндра . Образующая перпендикулярна основаниям, поэтому высота цилиндра .
Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту:
Ответ: б) .