В основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. Через… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Призмы средняя 2026 развёрнутое

В основании прямой треугольной призмы $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ лежит равнобедренный прямоугольный треугольник $A B C$ с гипотенузой $A B$ . Через вершины $A_{1}$ , $C_{1}$ и середину ребра $A B$ проведена плоскость $α$ .

а) Докажите, что сечением призмы плоскостью $α$ будет прямоугольная трапеция.

б) Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $α$ , если высота призмы равна $12$ , $A B = 102$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Сечение A₁C₁LK — прямоугольная трапеция

а) Пусть $K$ — середина $A B$ . Плоскости оснований призмы параллельны, поэтому плоскость $α$ пересекает их по параллельным прямым: верхнее — по $A_{1} C_{1}$ , нижнее — по прямой $K L ∥ A_{1} C_{1}$ , где $L \in B C$ .

Рисунок к решению

Грань $A A_{1} C_{1} C$ — прямоугольник, поэтому $A_{1} C_{1} ∥ A C$ и $A_{1} C_{1} = A C$ . Значит, $K L ∥ A C$ . В треугольнике $A B C$ прямая $K L$ проходит через середину $K$ стороны $A B$ параллельно $A C$ , поэтому $K L$ — средняя линия: $L$ — середина $B C$ и $K L = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} A_{1} C_{1}$ .

В четырёхугольнике $A_{1} C_{1} L K$ стороны $A_{1} C_{1}$ и $K L$ параллельны и не равны, поэтому это трапеция (параллелограммом он быть не может).

По условию $A C ⊥ B C$ , а $K L ∥ A C$ , значит, $K L ⊥ B C$ . Призма прямая, поэтому $C C_{1} ⊥ (A B C)$ и $C C_{1} ⊥ K L$ . Прямая $K L$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $B C$ и $C C_{1}$ плоскости $B C C_{1}$ , поэтому по признаку $K L ⊥ (B C C_{1})$ . Отсюда $K L ⊥ L C_{1}$ , то есть $∠ K L C_{1} = 9 0^{\circ}$ , и трапеция $A_{1} C_{1} L K$ прямоугольная, что и требовалось доказать.

б) Плоскость $α$ проходит через прямую $K L$ , перпендикулярную плоскости $B C C_{1}$ , поэтому по признаку $α ⊥ (B C C_{1})$ . Линия пересечения этих плоскостей — прямая $L C_{1}$ .

Проведём в плоскости $B C C_{1}$ перпендикуляр $C H$ к прямой $L C_{1}$ . Прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная линии их пересечения, перпендикулярна другой плоскости. Значит, $C H ⊥ α$ , и $C H$ — искомое расстояние.

Рисунок к решению

Треугольник $A B C$ равнобедренный прямоугольный с гипотенузой $A B = 102$ , поэтому

$A C = B C = \frac{A B}{2} = 10, C L = \frac{1}{2} B C = 5.$

Треугольник $L C C_{1}$ прямоугольный с катетами $C L = 5$ и $C C_{1} = 12$ . По теореме Пифагора

$L C_{1} = C L^{2} + C C_{1}^{2} = 25 + 144 = 13.$

$C H$ — высота, проведённая к гипотенузе, поэтому

$C H = \frac{C L \cdot C C _{1}}{L C _{1}} = \frac{5 \cdot 12}{13} = \frac{60}{13} .$

Ответ: б) $\frac{60}{13}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — призмы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15