В правильном тетраэдре ABCD все ребра равны 10. На ребрах AB и AD отмечены точки M и K соответственно так, что AM=AK=6. а)… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2026 развёрнутое

В правильном тетраэдре $A B C D$ все ребра равны 10. На ребрах $A B$ и $A D$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что $A M = A K = 6.$

а) Докажите что плоскость $C M K$ делит тетраэдр $A B C D$ на два многогранника, объёмы которых относятся как $16 : 9.$

б) Найти косинус угла между прямой $A C$ и плоскостью $C M K .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Плоскость $C M K$ разбивает тетраэдр на пирамиду $C A M K$ с вершиной $C$ и основанием $A M K$ и многогранник $C M B D K$ с вершиной $C$ и основанием $M B D K$ . Оба основания лежат в плоскости $A B D$ , поэтому у обеих частей и у всего тетраэдра одна и та же высота $h$ — расстояние от точки $C$ до плоскости $A B D$ .

Пусть $∠ B A D = α$ . Площади треугольников с общим углом $A$ :

$S_{A B D} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A D \cdot sin α = \frac{1}{2} \cdot 100 sin α, S_{A M K} = \frac{1}{2} \cdot A M \cdot A K \cdot sin α = \frac{1}{2} \cdot 36 sin α .$

Значит, $S_{A M K} = \frac{36}{100} S_{A B D} = \frac{9}{25} S_{A B D}$ и $S_{M B D K} = S_{A B D} - S_{A M K} = \frac{16}{25} S_{A B D}$ .

Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту, а высота у частей общая. Поэтому

$\frac{V _{C M B D K}}{V _{C A M K}} = \frac{\frac{1}{3} \cdot S _{M B D K} \cdot h}{\frac{1}{3} \cdot S _{A M K} \cdot h} = \frac{S _{M B D K}}{S _{A M K}} = \frac{16}{9} .$

Что и требовалось доказать.

б) Все грани правильного тетраэдра — равносторонние треугольники, поэтому $∠ K A C = ∠ M A C = ∠ K A M = 6 0^{\circ}$ .

Треугольники $A K C$ и $A M C$ равны по двум сторонам и углу между ними: $A K = A M = 6$ , $A C$ — общая, $∠ K A C = ∠ M A C$ . Значит, $C K = C M$ , и треугольник $C K M$ равнобедренный.

Треугольник $A K M$ равнобедренный ( $A K = A M$ ) с углом $6 0^{\circ}$ при вершине, значит, он равносторонний: $K M = 6$ .

Пусть $H$ — середина $K M$ . Отрезки $A H$ и $C H$ — медианы равнобедренных треугольников $A K M$ и $C K M$ , проведённые к основанию, поэтому они же высоты: $K M ⊥ A H$ и $K M ⊥ C H$ . По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $K M ⊥ (A H C)$ .

В плоскости $A H C$ проведём $A P ⊥ C H$ , $P$ — точка прямой $C H$ . Прямая $A P$ лежит в плоскости $A H C$ , поэтому $K M ⊥ A P$ . Итак, $A P$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $C H$ и $K M$ плоскости $C M K$ , значит, $A P ⊥ (C M K)$ .

Тогда $C P$ — проекция прямой $A C$ на плоскость $C M K$ , и искомый угол — это угол между прямыми $A C$ и $C H$ .

Найдём стороны треугольника $A H C$ . По теореме косинусов в треугольнике $A M C$ :

$M C^{2} = A M^{2} + A C^{2} - 2 \cdot A M \cdot A C \cdot cos 6 0^{\circ} = 36 + 100 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 76.$

В прямоугольном треугольнике $C H M$ катет $M H = 3$ , по теореме Пифагора

$C H = M C^{2} - M H^{2} = 76 - 9 = 67 .$

$A H$ — высота равностороннего треугольника со стороной 6: $A H = \frac{6 3}{2} = 33$ , $A H^{2} = 27$ .

По теореме косинусов в треугольнике $A H C$ :

$A H^{2} = A C^{2} + C H^{2} - 2 \cdot A C \cdot C H \cdot cos ∠ A C H,$

$27 = 100 + 67 - 2 \cdot 10 \cdot 67 \cdot cos ∠ A C H \Rightarrow cos ∠ A C H = \frac{140}{20 67} = \frac{7}{67} = \frac{7 67}{67} .$

Косинус положителен, угол $A C H$ острый, поэтому точка $P$ лежит на луче $C H$ и угол между прямой $A C$ и плоскостью $C M K$ равен $∠ A C P = ∠ A C H$ .

Ответ: б) $\frac{7 67}{67}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15