Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD, M — середина AB, K… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2026 развёрнутое

Дана правильная четырёхугольная пирамида $S A B C D$ , $M$ — середина $A B$ , $K$ — середина $S D$ .

а) Докажите, что прямая $M K$ параллельна плоскости $(S B C)$ .

б) Найдите высоту пирамиды, если $A B = 24$ , а угол между прямой $M K$ и плоскостью основания равен $3 0^{\circ}$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Отрезок MK, его проекция MK′ и прямая BQ

а) Пусть $Q$ — середина ребра $S C$ . В треугольнике $S D C$ точки $K$ и $Q$ — середины сторон $S D$ и $S C$ , поэтому $K Q$ — средняя линия:

$K Q ∥ D C, K Q = \frac{1}{2} D C .$

Рисунок к решению

Основание $A B C D$ — квадрат, поэтому $A B ∥ D C$ и $M B = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} D C$ . Две прямые, параллельные третьей, параллельны, значит, $K Q ∥ M B$ , и при этом $K Q = M B$ .

Четырёхугольник $K QB M$ , у которого две противоположные стороны равны и параллельны, — параллелограмм. Следовательно, $M K ∥ B Q$ .

Прямая $B Q$ лежит в плоскости $S B C$ , а прямая $M K$ в ней не лежит: точка $M$ принадлежит прямой $A B$ , которая пересекает плоскость $S B C$ только в точке $B$ . По признаку параллельности прямой и плоскости $M K ∥ (S B C)$ . Что и требовалось доказать.

б) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата, тогда $S O$ — высота правильной пирамиды. Точка $K$ лежит в плоскости $S B D$ . Проведём в этой плоскости $K K^{'} ∥ S O$ , $K^{'} \in B D$ . Так как $S O ⊥ (A B C)$ , то и $K K^{'} ⊥ (A B C)$ , то есть $K^{'}$ — проекция точки $K$ , а $M K^{'}$ — проекция прямой $M K$ на основание. Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией, поэтому $∠ K M K^{'} = 3 0^{\circ}$ .

В треугольнике $S O D$ отрезок $K K^{'}$ проходит через середину $K$ стороны $S D$ параллельно $S O$ , значит, это средняя линия:

$K K^{'} = \frac{1}{2} S O, K^{'} — середина O D .$

Диагональ квадрата со стороной $24$ равна $B D = 242$ . Тогда $B O = 122$ , $O K^{'} = 62$ и

$B K^{'} = B O + O K^{'} = \frac{3}{4} B D = 182 .$

Найдём $M K^{'}$ из треугольника $M B K^{'}$ : в нём $M B = 12$ , $B K^{'} = 182$ , а угол между стороной квадрата и его диагональю $∠ M B K^{'} = 4 5^{\circ}$ . По теореме косинусов

$M K^{'2} = B K^{'2} + M B^{2} - 2 \cdot B K^{'} \cdot M B \cdot cos 4 5^{\circ} = 648 + 144 - 2 \cdot 182 \cdot 12 \cdot \frac{2}{2} = 792 - 432 = 360,$

откуда $M K^{'} = 610$ .

В прямоугольном треугольнике $M K K^{'}$ (угол $K^{'}$ прямой)

$K K^{'} = M K^{'} \cdot tg 3 0^{\circ} = 610 \cdot \frac{3}{3} = 230 .$

Тогда высота пирамиды $S O = 2 K K^{'} = 430$ .

Ответ: б) $430$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15