В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 8√6, а боковое… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2026 развёрнутое

В правильной треугольной пирамиде $S A B C$ сторона основания $A B$ равна $86,$ а боковое ребро $S A$ равно 14. На рёбрах $A B$ и $S C$ отмечены точки $K$ и $M$ соответственно, причём $A K : K B = S M : M C = 2 : 5.$ Плоскость $α$ содержит прямую $K M$ и параллельна прямой $B C .$

а) Докажите, что плоскость $α$ параллельна прямой $S A .$

б) Найдите угол между плоскостями $α$ и $S B C .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Построим сечение. Плоскость $α$ параллельна $B C$ , а плоскость $(A B C)$ проходит через $B C$ и точку $K$ плоскости $α$ . Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает её, то линия пересечения параллельна этой прямой. Значит, $α$ пересекает грань $A B C$ по прямой через $K$ , параллельной $B C$ ; обозначим её пересечение с $A C$ через $N$ . Аналогично $α$ пересекает грань $S B C$ по прямой через $M$ , параллельной $B C$ ; обозначим её пересечение с $S B$ через $L$ . Сечение — четырёхугольник $N M L K$ .

Так как $K N ∥ B C$ , по теореме о пропорциональных отрезках

$\frac{A N}{N C} = \frac{A K}{K B} = \frac{2}{5}, откуда \frac{C N}{C A} = \frac{5}{7} .$

По условию $S M : M C = 2 : 5$ , поэтому $\frac{C M}{C S} = \frac{5}{7}$ . В треугольниках $C N M$ и $C A S$ угол $C$ общий, а прилежащие к нему стороны пропорциональны, значит, треугольники подобны, и $∠ C N M = ∠ C A S$ . Это соответственные углы при прямых $N M$ и $A S$ и секущей $A C$ , поэтому $N M ∥ A S$ .

Прямая $N M$ лежит в плоскости $α$ , а прямая $S A$ — нет: точка $A$ не лежит на прямой $K N$ , по которой $α$ пересекает основание. По признаку параллельности прямой и плоскости $S A ∥ α$ . Что и требовалось доказать.

б) Плоскости $α$ и $(S B C)$ пересекаются по прямой $M L ∥ B C$ . Построим линейный угол двугранного угла при этом ребре.

Пусть $H$ — середина $B C$ . Тогда $A H ⊥ B C$ (медиана правильного треугольника) и $S H ⊥ B C$ (медиана равнобедренного треугольника $S B C$ ). Значит, $B C ⊥ (A S H)$ .

Пусть $R$ — точка пересечения $A H$ и $K N$ , $P$ — точка пересечения $S H$ и $M L$ . Тогда $P H ⊥ M L$ , так как $S H ⊥ B C ∥ M L$ . Прямая $P R$ лежит в плоскости $(A S H)$ , перпендикулярной $B C$ , поэтому $P R ⊥ B C$ и $P R ⊥ M L$ . Прямые $P R \subset α$ и $P H \subset (S B C)$ перпендикулярны общему ребру $M L$ , поэтому угол между плоскостями равен углу между прямыми $P R$ и $P H$ .

В треугольнике $A B H$ имеем $K R ∥ B H$ , поэтому $\frac{A R}{A H} = \frac{A K}{A B} = \frac{2}{7}$ , то есть $\frac{H R}{H A} = \frac{5}{7}$ . В треугольнике $S C H$ имеем $M P ∥ C H$ , поэтому $\frac{S P}{S H} = \frac{S M}{S C} = \frac{2}{7}$ , то есть $\frac{H P}{H S} = \frac{5}{7}$ . Отношения равны, и по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, $P R ∥ S A$ . Тогда $∠ R P H = ∠ A S H$ как соответственные углы.

Найдём стороны треугольника $A S H$ . Так как $A B = 86$ , то $H B = H C = 46$ . Из прямоугольного треугольника $A H C$ :

$A H^{2} = A C^{2} - H C^{2} = 64 \cdot 6 - 16 \cdot 6 = 288.$

Из прямоугольного треугольника $S H B$ :

$S H^{2} = S B^{2} - H B^{2} = 196 - 96 = 100, S H = 10.$

По теореме косинусов в треугольнике $A S H$ :

$cos ∠ A S H = \frac{A S ^{2} + S H ^{2} - A H ^{2}}{2 \cdot A S \cdot S H} = \frac{196 + 100 - 288}{2 \cdot 14 \cdot 10} = \frac{8}{280} = \frac{1}{35} .$

Косинус положителен, угол острый, поэтому угол между плоскостями $α$ и $S B C$ равен $arccos \frac{1}{35}$ .

Ответ: б) $arccos \frac{1}{35}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15