В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 4√13, а боковое… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2026 развёрнутое

В правильной треугольной пирамиде $S A B C$ сторона основания $A B$ равна $413,$ а боковое ребро $S A$ равно 14. На рёбрах $A B$ и $S C$ отмечены точки $K$ и $M$ соответственно, причём $A K : K B = S M : M C = 2 : 5.$ Плоскость $α$ содержит прямую $K M$ и параллельна прямой $B C .$

а) Докажите, что плоскость $α$ параллельна прямой $S A .$

б) Найдите угол между плоскостями $α$ и $S B C .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Построим сечение. В основании проведём $K N ∥ B C$ , $N \in A C$ , в грани $S B C$ — $M L ∥ B C$ , $L \in S B$ . Прямые $K N$ и $M L$ параллельны (обе параллельны $B C$ ), поэтому лежат в одной плоскости. Она содержит $K M$ и прямую $M L ∥ B C$ , а плоскость через $K M$ , параллельная $B C$ , единственна. Значит, это $α$ , а сечение — четырёхугольник $K N M L$ .

По теореме о пропорциональных отрезках в угле $B A C$ (прямая $K N ∥ B C$ ):

$\frac{A N}{N C} = \frac{A K}{K B} = \frac{2}{5} .$

По условию $\frac{S M}{M C} = \frac{2}{5}$ . Тогда $\frac{C N}{C A} = \frac{C M}{C S} = \frac{5}{7}$ , и треугольники $C N M$ и $C A S$ с общим углом $C$ подобны. Следовательно, $∠ C N M = ∠ C A S$ , и по признаку параллельности прямых (соответственные углы)

$N M ∥ A S .$

Прямая $A S$ не лежит в плоскости $α$ (точка $A$ ей не принадлежит, ведь $α$ пересекает прямую $A B$ в точке $K \neq = A$ ) и параллельна прямой $N M$ этой плоскости. По признаку параллельности прямой и плоскости $A S ∥ α$ , что и требовалось доказать.

б) Плоскости $α$ и $S B C$ пересекаются по прямой $M L$ .

Пусть $H$ — середина $B C$ . В правильном треугольнике $A B C$ медиана $A H$ является высотой: $A H ⊥ B C$ . В равнобедренном треугольнике $S B C$ медиана $S H$ тоже высота: $S H ⊥ B C$ . По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $B C ⊥ (A S H)$ , а так как $M L ∥ B C$ , то и

$M L ⊥ (A S H) .$

Пусть $R = A H \cap K N$ , $P = S H \cap M L$ . Точки $R$ и $P$ лежат в плоскости $α$ и в плоскости $A S H$ . Прямые $P R$ и $P H$ лежат в плоскости $A S H$ , перпендикулярной $M L$ , поэтому $P R ⊥ M L$ и $P H ⊥ M L$ . Значит, угол $R P H$ — линейный угол двугранного угла между $α$ и $S B C$ (искомый угол равен ему, если он острый).

По теореме о пропорциональных отрезках $\frac{A R}{R H} = \frac{A K}{K B} = \frac{2}{5}$ (так как $K R ∥ B H$ ) и $\frac{S P}{P H} = \frac{S M}{M C} = \frac{2}{5}$ (так как $M P ∥ C H$ ). Тогда $\frac{H R}{H A} = \frac{H P}{H S} = \frac{5}{7}$ , и треугольники $H R P$ и $H A S$ подобны. Отсюда $R P ∥ A S$ и

$∠ R P H = ∠ A S H .$

Найдём стороны треугольника $A S H$ . Высота правильного треугольника со стороной $413$ :

$A H = A C^{2} - H C^{2} = 16 \cdot 13 - 4 \cdot 13 = 156 .$

Из прямоугольного треугольника $S H B$ :

$S H = S B^{2} - H B^{2} = 196 - 52 = 144 = 12.$

По теореме косинусов в треугольнике $A S H$ :

$cos ∠ A S H = \frac{A S ^{2} + S H ^{2} - A H ^{2}}{2 \cdot A S \cdot S H} = \frac{196 + 144 - 156}{2 \cdot 14 \cdot 12} = \frac{184}{336} = \frac{23}{42} .$

Косинус положителен, значит, угол острый и равен углу между плоскостями:

$∠ (α; S B C) = arccos \frac{23}{42} .$

Ответ: б) $arccos \frac{23}{42}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15