Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. На середине ребра BC взята точка M. Через точки… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Параллелепипеды средняя 2026 развёрнутое

Дан куб $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . На середине ребра $B C$ взята точка $M$ . Через точки $A, M$ и $C_{1}$ проведена плоскость $α$ , пересекающая ребро $A_{1} D_{1}$ в точке $K$ .

а) Докажите, что $A C_{1} ⊥ K M$ .

б) Найдите площадь сечения куба плоскостью $α$ , если объём куба равен $8$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Сечение AMC₁K — ромб

а) Пусть ребро куба равно $a$ . Плоскость $α = (A M C_{1})$ пересекает параллельные плоскости $A B C$ и $A_{1} B_{1} C_{1}$ по параллельным прямым, поэтому $C_{1} K ∥ A M$ . Плоскость $α$ пересекает параллельные плоскости граней $A A_{1} D_{1} D$ и $B B_{1} C_{1} C$ тоже по параллельным прямым, поэтому $A K ∥ M C_{1}$ .

Докажем, что $K$ — середина $A_{1} D_{1}$ . Пусть $P$ — середина ребра $A D$ . Тогда $P M = A B = D_{1} C_{1}$ (точки $P$ и $M$ — середины противоположных сторон квадрата $A B C D$ ), поэтому $P M C_{1} D_{1}$ — параллелограмм и $D_{1} P ∥ C_{1} M$ .

Так как $A K ∥ C_{1} M$ и $D_{1} P ∥ C_{1} M$ , то $A K ∥ P D_{1}$ . Кроме того, $A P ∥ K D_{1}$ , так как $A D ∥ A_{1} D_{1}$ . Значит, $A K D_{1} P$ — параллелограмм, и $K D_{1} = A P = \frac{a}{2}$ , то есть $K$ — середина $A_{1} D_{1}$ .

Рассмотрим прямоугольные треугольники $A A_{1} K$ , $C_{1} D_{1} K$ , $C_{1} C M$ и $A B M$ (все грани куба — квадраты). У каждого из них один катет равен ребру куба $a$ , а другой — половине ребра:

$A A_{1} = C_{1} D_{1} = C C_{1} = A B = a, A_{1} K = D_{1} K = C M = B M = \frac{a}{2} .$

Значит, эти треугольники равны по двум катетам, и их гипотенузы равны: $A K = K C_{1} = C_{1} M = M A$ . Четырёхугольник $A M C_{1} K$ , у которого все стороны равны, — ромб. Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому $A C_{1} ⊥ K M$ . Что и требовалось доказать.

Рисунок к решению

б) Объём куба равен $a^{3} = 8$ , поэтому $a = 2$ . Сечение куба плоскостью $α$ — ромб $A M C_{1} K$ , и его площадь равна половине произведения диагоналей.

Диагональ куба:

$A C_{1} = a 3 = 23 .$

Найдём $K M$ . Точки $K$ и $P$ — середины противоположных рёбер $A_{1} D_{1}$ и $A D$ грани $A A_{1} D_{1} D$ , поэтому $K P ∥ A A_{1}$ и $K P = 2$ . Значит, $K P ⊥ (A B C)$ и $K P ⊥ P M$ . Кроме того, $P M = A B = 2$ . По теореме Пифагора в треугольнике $K P M$ :

$K M = K P^{2} + P M^{2} = 4 + 4 = 22 .$

Тогда площадь сечения

$S_{A M C_{1} K} = \frac{1}{2} \cdot A C_{1} \cdot K M = \frac{1}{2} \cdot 23 \cdot 22 = 26 .$

Ответ: б) $26$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — параллелепипеды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15