В правильном тетраэдре ABCD все ребра равны 10. На ребрах AB и AD отмечены точки M и K соответственно так, что AM=AK=8. а)… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2026 развёрнутое

В правильном тетраэдре $A B C D$ все ребра равны 10. На ребрах $A B$ и $A D$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что $A M = A K = 8.$

а) Докажите, что плоскость $C M K$ делит тетраэдр $A B C D$ на два многогранника, объёмы которых относятся как $16 : 9.$

б) Найдите косинус угла между прямой $A C$ и плоскостью $C M K .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) По условию $A M = A K = 8$ , поэтому $M B = K D = 10 - 8 = 2$ . Плоскость $C M K$ отсекает от тетраэдра пирамиду $C A M K$ с вершиной $C$ и основанием $A M K$ ; оставшийся многогранник — пирамида $C M B D K$ с той же вершиной и основанием $M B D K$ .

Обозначим $∠ B A D = φ$ . Площади треугольников $B A D$ и $M A K$ с общим углом $A$ :

$S_{B A D} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A D \cdot sin φ = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot sin φ, S_{M A K} = \frac{1}{2} \cdot A M \cdot A K \cdot sin φ = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \cdot sin φ .$

Пусть $h$ — расстояние от $C$ до плоскости $A B D$ . Это общая высота пирамид $C A M K$ и $C A B D$ , поэтому их объёмы равны $\frac{1}{3} S_{M A K} \cdot h$ и $\frac{1}{3} S_{B A D} \cdot h$ . Искомое отношение:

$\frac{V _{C A M K}}{V _{A B C D} - V _{C A M K}} = \frac{\frac{1}{3} S _{M A K} \cdot h}{\frac{1}{3} S _{B A D} \cdot h - \frac{1}{3} S _{M A K} \cdot h} = \frac{64 sin φ}{100 sin φ - 64 sin φ} = \frac{64}{36} = \frac{16}{9} .$

Что и требовалось доказать.

б) Треугольники $A K C$ и $A M C$ равны по двум сторонам и углу между ними: $A K = A M = 8$ , сторона $A C$ общая, $∠ K A C = ∠ M A C = 6 0^{\circ}$ как углы равносторонних граней. Значит, $K C = M C$ , и треугольник $C K M$ равнобедренный. Треугольник $A K M$ тоже равнобедренный, так как $A K = A M$ .

Пусть $H$ — середина $K M$ . Тогда $A H$ и $C H$ — медианы равнобедренных треугольников $A K M$ и $C K M$ , проведённые к основанию, а значит, и высоты: $K M ⊥ A H$ и $K M ⊥ C H$ . По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $K M ⊥ (A H C)$ .

Проведём в плоскости $(A H C)$ перпендикуляр $A P$ к прямой $C H$ . Так как $K M ⊥ (A H C)$ , то $K M ⊥ A P$ . Прямая $A P$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $C H$ и $K M$ плоскости $(C M K)$ , поэтому $A P ⊥ (C M K)$ . Значит, проекция прямой $A C$ на плоскость $(C M K)$ — прямая $C H$ , и угол между прямой $A C$ и плоскостью $(C M K)$ равен углу $A C H$ (если он острый).

В треугольнике $A K M$ стороны $A K = A M$ и угол между ними $6 0^{\circ}$ , поэтому он равносторонний: $K M = 8$ и $M H = 4$ .

По теореме косинусов для треугольника $A M C$ :

$M C^{2} = A M^{2} + A C^{2} - 2 \cdot A M \cdot A C \cdot cos 6 0^{\circ} = 64 + 100 - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 84.$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $C H M$ :

$C H^{2} = M C^{2} - M H^{2} = 84 - 16 = 68, C H = 68 = 217 .$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $A H M$ :

$A H^{2} = A M^{2} - M H^{2} = 64 - 16 = 48.$

Запишем теорему косинусов для треугольника $A H C$ :

$A H^{2} = A C^{2} + C H^{2} - 2 \cdot A C \cdot C H \cdot cos ∠ A C H,$

$48 = 100 + 68 - 2 \cdot 10 \cdot 217 \cdot cos ∠ A C H, 4017 cos ∠ A C H = 120,$

$cos ∠ A C H = \frac{3}{17} = \frac{3 17}{17} .$

Косинус положителен, угол острый, поэтому это и есть косинус угла между прямой $A C$ и плоскостью $C M K$ .

Ответ: б) $\frac{3 17}{17}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15