В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 4√11, а боковое… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2026 развёрнутое

В правильной треугольной пирамиде $S A B C$ сторона основания $A B$ равна $411,$ а боковое ребро $S A$ равно 12. На рёбрах $A B$ и $S C$ отмечены точки $K$ и $M$ соответственно, причём $A K : K B = S M : M C = 1 : 5.$ Плоскость $α$ содержит прямую $K M$ и параллельна прямой $B C .$

а) Докажите, что плоскость $α$ параллельна прямой $S A .$

б) Найдите угол между плоскостями $α$ и $S B C .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Построим сечение. Плоскость $α$ параллельна прямой $B C$ . Плоскость $(A B C)$ содержит прямую $B C$ и точку $K$ плоскости $α$ . Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает её, то линия пересечения параллельна этой прямой. Поэтому $α$ пересекает грань $A B C$ по прямой, проходящей через $K$ параллельно $B C$ ; пусть она пересекает $A C$ в точке $N$ . Точно так же $α$ пересекает грань $S B C$ по прямой, проходящей через $M$ параллельно $B C$ ; пусть она пересекает $S B$ в точке $L$ . Сечение — четырёхугольник $N M L K$ .

В треугольнике $A B C$ прямая $K N$ параллельна $B C$ , поэтому по теореме о пропорциональных отрезках

$\frac{A N}{N C} = \frac{A K}{K B} = \frac{1}{5} .$

Значит, $\frac{C N}{C A} = \frac{5}{6}$ . По условию $S M : M C = 1 : 5$ , поэтому и $\frac{C M}{C S} = \frac{5}{6}$ . Треугольники $C N M$ и $C A S$ имеют общий угол $C$ и пропорциональные прилежащие стороны, поэтому они подобны, и $∠ C N M = ∠ C A S$ . Это соответственные углы при прямых $N M$ , $A S$ и секущей $A C$ , следовательно, $N M ∥ A S$ .

Прямая $N M$ лежит в плоскости $α$ . Прямая $S A$ в ней не лежит: точка $A$ не принадлежит $α$ , так как $α$ пересекает основание по прямой $K N$ , не проходящей через $A$ . По признаку параллельности прямой и плоскости $S A ∥ α$ . Что и требовалось доказать.

б) Плоскости $α$ и $(S B C)$ пересекаются по прямой $M L$ , параллельной $B C$ . Построим линейный угол двугранного угла при этом ребре.

Пусть $H$ — середина $B C$ . В правильном треугольнике $A B C$ медиана $A H$ является высотой: $A H ⊥ B C$ . В равнобедренном треугольнике $S B C$ медиана $S H$ — тоже высота: $S H ⊥ B C$ . Значит, $B C$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $(A S H)$ , и $B C ⊥ (A S H)$ .

Пусть $R$ — точка пересечения $A H$ и $K N$ , а $P$ — точка пересечения $S H$ и $M L$ . Обе точки лежат и в $α$ , и в плоскости $(A S H)$ .

Так как $S H ⊥ B C$ и $M L ∥ B C$ , то $P H ⊥ M L$ . Прямая $P R$ лежит в плоскости $(A S H)$ , перпендикулярной $B C$ , поэтому $P R ⊥ B C$ , а значит, и $P R ⊥ M L$ . Лучи $P R$ и $P H$ лежат в плоскостях $α$ и $(S B C)$ и перпендикулярны их общему ребру $M L$ , поэтому угол между плоскостями равен углу между прямыми $P R$ и $P H$ .

Докажем, что $P R ∥ A S$ . В треугольнике $A B H$ отрезок $K R$ параллелен $B H$ , поэтому $\frac{A R}{A H} = \frac{A K}{A B} = \frac{1}{6}$ и $\frac{H R}{H A} = \frac{5}{6}$ . В треугольнике $S C H$ отрезок $M P$ параллелен $C H$ , поэтому $\frac{S P}{S H} = \frac{S M}{S C} = \frac{1}{6}$ и $\frac{H P}{H S} = \frac{5}{6}$ . Значит, в треугольнике $A H S$

$\frac{H R}{H A} = \frac{H P}{H S},$

и по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, $P R ∥ S A$ . Тогда $∠ R P H = ∠ A S H$ как соответственные углы, и достаточно найти угол $A S H$ .

Сторона основания $A B = 411$ , поэтому $H B = H C = 211$ . Из прямоугольного треугольника $A H C$ :

$A H^{2} = A C^{2} - H C^{2} = 16 \cdot 11 - 4 \cdot 11 = 132.$

Из прямоугольного треугольника $S H B$ :

$S H^{2} = S B^{2} - H B^{2} = 144 - 44 = 100, S H = 10.$

По теореме косинусов в треугольнике $A S H$ :

$cos ∠ A S H = \frac{A S ^{2} + S H ^{2} - A H ^{2}}{2 \cdot A S \cdot S H} = \frac{144 + 100 - 132}{2 \cdot 12 \cdot 10} = \frac{112}{240} = \frac{7}{15} .$

Косинус положителен, угол острый, поэтому угол между плоскостями $α$ и $S B C$ равен $arccos \frac{7}{15}$ .

Ответ: б) $arccos \frac{7}{15}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15