В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ через вершины A₁, B₁ и… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Призмы средняя 2026 развёрнутое

В правильной треугольной призме $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ через вершины $A_{1}$ , $B_{1}$ и середину ребра $B C$ проведена плоскость $α$ .

а) Докажите, что сечением призмы плоскостью $α$ будет трапеция.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $α$ , если боковое ребро призмы равно $13$ , а сторона основания равна $12$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Сечение A₁B₁KL — трапеция

а) Пусть $K$ — середина ребра $B C$ . Плоскости оснований $A B C$ и $A_{1} B_{1} C_{1}$ параллельны, поэтому плоскость $α$ пересекает их по параллельным прямым. С верхним основанием $α$ пересекается по прямой $A_{1} B_{1}$ , значит, с нижним — по прямой, проходящей через $K$ параллельно $A_{1} B_{1}$ , то есть параллельно $A B$ . Пусть эта прямая пересекает ребро $A C$ в точке $L$ .

В треугольнике $A B C$ прямая $K L$ проходит через середину стороны $B C$ параллельно стороне $A B$ , поэтому по теореме Фалеса $L$ — середина $A C$ , а $K L$ — средняя линия треугольника: $K L = \frac{1}{2} A B$ .

Соединим $L$ с $A_{1}$ (обе точки лежат в грани $A A_{1} C_{1} C$ ) и $K$ с $B_{1}$ (грань $B B_{1} C_{1} C$ ). Сечение призмы плоскостью $α$ — четырёхугольник $A_{1} B_{1} K L$ .

В нём $K L ∥ A_{1} B_{1}$ , но $K L = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} A_{1} B_{1} \neq = A_{1} B_{1}$ . Если бы стороны $A_{1} L$ и $B_{1} K$ тоже были параллельны, четырёхугольник был бы параллелограммом и его противоположные стороны $K L$ и $A_{1} B_{1}$ были бы равны. Значит, $A_{1} L ∦ B_{1} K$ , у четырёхугольника ровно одна пара параллельных сторон, и сечение — трапеция. Что и требовалось доказать.

Рисунок к решению

б) Боковые рёбра правильной призмы перпендикулярны основанию, поэтому треугольники $A A_{1} L$ и $B B_{1} K$ прямоугольные с прямыми углами $A$ и $B$ . У них $A A_{1} = B B_{1}$ и $A L = B K = \frac{12}{2} = 6$ , значит, они равны по двум катетам, и $A_{1} L = B_{1} K$ . Трапеция $A_{1} B_{1} K L$ равнобедренная.

Рисунок к решению

По теореме Пифагора в треугольнике $A A_{1} L$ :

$A_{1} L = A A_{1}^{2} + A L^{2} = 169 + 36 = 205 .$

Основания трапеции: $K L = \frac{1}{2} A B = 6$ , $A_{1} B_{1} = 12$ .

Рисунок к решению

Проведём высоты трапеции $L H$ и $K D$ к большему основанию $A_{1} B_{1}$ . Четырёхугольник $H L K D$ — прямоугольник, поэтому $H D = K L = 6$ . Прямоугольные треугольники $A_{1} H L$ и $B_{1} D K$ равны по гипотенузе и катету ( $A_{1} L = B_{1} K$ , $L H = K D$ ), поэтому

$A_{1} H = D B_{1} = \frac{A _{1} B _{1} - K L}{2} = \frac{12 - 6}{2} = 3.$

По теореме Пифагора в треугольнике $A_{1} H L$ :

$L H = A_{1} L^{2} - A_{1} H^{2} = 205 - 9 = 196 = 14.$

Площадь трапеции:

$S_{A_{1} B_{1} K L} = \frac{K L + A _{1} B _{1}}{2} \cdot L H = \frac{6 + 12}{2} \cdot 14 = 126.$

Ответ: б) $126$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — призмы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15