Основанием прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ является равнобедренный треугольник ABC с прямым углом B, катеты которого равны… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2026 развёрнутое

Основанием прямой треугольной призмы $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ является равнобедренный треугольник $A B C$ с прямым углом $B,$ катеты которого равны 10. Боковые рёбра призмы равны 10. На рёбрах $A A_{1}$ и $C C_{1}$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $A M = 3, C N = 2.$

а) Докажите, что плоскость $M N B_{1}$ разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.

б) Найдите объём тетраэдра $M N B B_{1} .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Плоскость $M N B_{1}$ пересекает призму по треугольнику $M N B_{1}$ и делит её на два многогранника: пирамиду $B_{1} A_{1} C_{1} N M$ с вершиной $B_{1}$ и основанием $A_{1} C_{1} N M$ и многогранник $B_{1} M N B A C$ . Найдём объём всей призмы и объём пирамиды.

Призма прямая, её объём равен произведению площади основания на высоту, а высота — боковое ребро:

$V_{призмы} = S_{A B C} \cdot A A_{1} = \frac{A B \cdot B C}{2} \cdot A A_{1} = \frac{10 \cdot 10}{2} \cdot 10 = 500.$

Найдём высоту пирамиды $B_{1} A_{1} C_{1} N M$ . Проведём в треугольнике $A_{1} B_{1} C_{1}$ высоту $B_{1} H_{1}$ к гипотенузе $A_{1} C_{1}$ . Ребро $C C_{1}$ перпендикулярно плоскости $(A_{1} B_{1} C_{1})$ , поэтому $C C_{1} ⊥ B_{1} H_{1}$ . Прямая $B_{1} H_{1}$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $A_{1} C_{1}$ и $C C_{1}$ плоскости $(A C C_{1})$ , значит, $B_{1} H_{1} ⊥ (A C C_{1})$ , и $B_{1} H_{1}$ — высота пирамиды.

По теореме Пифагора гипотенуза основания

$A C = A_{1} C_{1} = 1 0^{2} + 1 0^{2} = 102 .$

В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе является медианой и равна половине гипотенузы:

$B_{1} H_{1} = \frac{A _{1} C _{1}}{2} = 52 .$

Найдём площадь основания $A_{1} C_{1} N M$ . Отрезки $A_{1} M$ и $C_{1} N$ лежат на боковых рёбрах, поэтому они параллельны, и

$A_{1} M = A A_{1} - A M = 10 - 3 = 7, C_{1} N = C C_{1} - C N = 10 - 2 = 8.$

Четырёхугольник $A_{1} C_{1} N M$ — прямоугольная трапеция с основаниями $A_{1} M$ , $C_{1} N$ и высотой $A_{1} C_{1}$ (боковые рёбра перпендикулярны $A_{1} C_{1}$ ):

$S_{A_{1} C_{1} N M} = \frac{A _{1} M + C _{1} N}{2} \cdot A_{1} C_{1} = \frac{7 + 8}{2} \cdot 102 = 752 .$

Объём пирамиды:

$V_{B_{1} A_{1} C_{1} N M} = \frac{1}{3} \cdot S_{A_{1} C_{1} N M} \cdot B_{1} H_{1} = \frac{1}{3} \cdot 752 \cdot 52 = 250.$

Объём второго многогранника:

$V_{B_{1} M N B A C} = 500 - 250 = 250.$

Объёмы многогранников равны. Что и требовалось доказать.

б) Разрежем многогранник $B_{1} M N B A C$ плоскостью $M N B$ . Получатся тетраэдр $M N B B_{1}$ и пирамида $B A C N M$ с вершиной $B$ и основанием $A C N M$ :

$V_{B_{1} M N B A C} = V_{M N B B_{1}} + V_{B A C N M} .$

Найдём объём пирамиды $B A C N M$ так же, как в пункте а). Пусть $B H$ — высота треугольника $A B C$ , проведённая к гипотенузе. Тогда $B H ⊥ A C$ и $B H ⊥ C C_{1}$ (ребро $C C_{1}$ перпендикулярно плоскости основания), значит, $B H ⊥ (A C C_{1})$ , и $B H = \frac{A C}{2} = 52$ .

Четырёхугольник $A C N M$ — прямоугольная трапеция с основаниями $A M = 3$ , $C N = 2$ и высотой $A C = 102$ :

$S_{A C N M} = \frac{3 + 2}{2} \cdot 102 = 252,$

$V_{B A C N M} = \frac{1}{3} \cdot S_{A C N M} \cdot B H = \frac{1}{3} \cdot 252 \cdot 52 = \frac{250}{3} .$

Тогда объём тетраэдра

$V_{M N B B_{1}} = V_{B_{1} M N B A C} - V_{B A C N M} = 250 - \frac{250}{3} = \frac{500}{3} .$

Проверим другим способом. Примем за основание тетраэдра треугольник $B B_{1} M$ в грани $A B B_{1} A_{1}$ : расстояние от $M$ до прямой $B B_{1}$ равно $A B = 10$ , поэтому $S_{B B_{1} M} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50$ . Ребро $C C_{1}$ параллельно этой грани, а $C B ⊥ A B$ и $C B ⊥ B B_{1}$ , поэтому расстояние от $N$ до грани равно $B C = 10$ . Тогда $V = \frac{1}{3} \cdot 50 \cdot 10 = \frac{500}{3}$ — ответ совпал.

Ответ: б) $\frac{500}{3}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15