В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ отметили точки M и K на ребрах AA₁ и A₁B₁ соответственно. Известно, что AM=3MA₁… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Призмы средняя 2026 развёрнутое

В правильной треугольной призме $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ отметили точки $M$ и $K$ на ребрах $A A_{1}$ и $A_{1} B_{1}$ соответственно. Известно, что $A M = 3 M A_{1},$ $A_{1} K = K B_{1} .$ Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $α$ перпендикулярно грани $A B B_{1} A_{1} .$

а) Докажите, что плоскость $α$ проходит через вершину $C_{1} .$

б) Найдите расстояние от точки $A_{1}$ до плоскости $α,$ если все ребра призмы равны 16.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Призма правильная: в основаниях лежат правильные треугольники, а боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований.

В правильном треугольнике $A_{1} B_{1} C_{1}$ медиана $C_{1} K$ является высотой, поэтому $C_{1} K ⊥ A_{1} B_{1}$ . Ребро $A A_{1}$ перпендикулярно плоскости $A_{1} B_{1} C_{1}$ , поэтому оно перпендикулярно любой прямой этой плоскости, в частности $C_{1} K ⊥ A A_{1}$ .

Прямая $C_{1} K$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $A_{1} B_{1}$ и $A A_{1}$ плоскости $A B B_{1} A_{1}$ , значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $C_{1} K ⊥ (A B B_{1} A_{1})$ .

Плоскость $α$ перпендикулярна грани $A B B_{1} A_{1}$ и содержит точку $K$ . Если две плоскости перпендикулярны, то прямая, проведённая через точку одной из них перпендикулярно другой, целиком лежит в первой. Через точку $K$ проходит единственная прямая, перпендикулярная плоскости $A B B_{1} A_{1}$ , — это $K C_{1}$ . Значит, $K C_{1} \subset α$ , и плоскость $α$ проходит через вершину $C_{1}$ . Что и требовалось доказать.

б) Все рёбра равны 16. Из условия $A M = 3 M A_{1}$ получаем $M A_{1} = \frac{1}{4} A A_{1} = 4$ , а $A_{1} K = K B_{1} = 8$ .

Построим перпендикуляр из $A_{1}$ к плоскости $α$ . Плоскости $α$ и $A B B_{1} A_{1}$ перпендикулярны и пересекаются по прямой $M K$ . Проведём в грани $A B B_{1} A_{1}$ высоту $A_{1} H$ прямоугольного треугольника $A_{1} M K$ (угол $A_{1}$ прямой, так как боковая грань — квадрат). Прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная линии их пересечения, перпендикулярна другой плоскости. Поэтому $A_{1} H ⊥ α$ , и искомое расстояние равно $A_{1} H$ .

По теореме Пифагора в треугольнике $A_{1} M K$ :

$M K = A_{1} K^{2} + A_{1} M^{2} = 64 + 16 = 80 = 45 .$

Высота, проведённая к гипотенузе, равна произведению катетов, делённому на гипотенузу:

$A_{1} H = \frac{A _{1} M \cdot A _{1} K}{M K} = \frac{4 \cdot 8}{4 5} = \frac{8}{5} = \frac{8 5}{5} .$

Проверим результат методом объёмов. Запишем объём тетраэдра $C_{1} A_{1} M K$ двумя способами. Если основание — треугольник $A_{1} M K$ , то высота — $C_{1} K$ , так как $C_{1} K ⊥ (A B B_{1} A_{1})$ . Из прямоугольного треугольника $A_{1} K C_{1}$ :

$C_{1} K = A_{1} C_{1}^{2} - A_{1} K^{2} = 256 - 64 = 83,$

$S_{A_{1} M K} = \frac{1}{2} \cdot A_{1} M \cdot A_{1} K = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 = 16, V = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 83 = \frac{128 3}{3} .$

Если основание — треугольник $C_{1} M K$ , лежащий в плоскости $α$ , то высота — искомое расстояние $h$ . Этот треугольник прямоугольный с прямым углом $K$ , так как $C_{1} K$ перпендикулярна плоскости грани, а значит, и прямой $M K$ :

$S_{C_{1} M K} = \frac{1}{2} \cdot C_{1} K \cdot M K = \frac{1}{2} \cdot 83 \cdot 45 = 1615 .$

Тогда

$h = \frac{3 V}{S _{C_{1} M K}} = \frac{128 3}{16 15} = \frac{8}{5} = \frac{8 5}{5},$

результат совпал.

Ответ: б) $\frac{8 5}{5}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — призмы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15