В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S точка M — середина SD, точка K — середина SA. а) Докажите, что прямые BK… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2026 развёрнутое

В правильной шестиугольной пирамиде $S A B C D E F$ с вершиной $S$ точка $M$ — середина $S D,$ точка $K$ — середина $S A .$

а) Докажите, что прямые $B K$ и $C M$ лежат в одной плоскости $α .$

б) Найдите высоту пирамиды, если угол между плоскостью $α$ и плоскостью основания пирамиды равен $6 0^{\circ}$ и $A B = 6.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Отрезок $K M$ соединяет середины сторон $S A$ и $S D$ треугольника $S A D$ , значит, $K M$ — средняя линия этого треугольника:

$K M ∥ A D, K M = \frac{1}{2} A D .$

Пирамида правильная, поэтому в основании лежит правильный шестиугольник $A B C D E F$ с центром $O$ . Его большие диагонали делят его на шесть равных равносторонних треугольников со стороной, равной стороне шестиугольника. Поэтому $A D = A O + O D = 2 B C$ . Углы $∠ B C O$ и $∠ C O D$ равны $6 0^{\circ}$ как углы равносторонних треугольников $O B C$ и $O C D$ ; это накрест лежащие углы при прямых $B C$ , $A D$ и секущей $C O$ , значит, $B C ∥ A D$ .

Тогда $K M ∥ B C$ как две прямые, параллельные третьей. Через параллельные прямые $K M$ и $B C$ проходит плоскость $α$ . В ней лежат точки $B$ , $K$ , $C$ , $M$ , а значит, и прямые $B K$ и $C M$ . Что и требовалось доказать.

Заметим ещё, что $K M = \frac{1}{2} A D = B C$ , поэтому $B C M K$ — параллелограмм и даже $B K ∥ C M$ .

б) Плоскость $α$ пересекает плоскость основания по прямой $B C$ . Построим линейный угол двугранного угла при этой прямой.

Высота $S O$ правильной пирамиды опускается в центр основания: $S O ⊥ (A B C)$ . Точка $O$ лежит на $A D$ , поэтому $S O$ лежит в плоскости $S A D$ и пересекает $K M$ в точке $Q$ . В треугольнике $S A O$ отрезок $K Q$ параллелен $A O$ и проходит через середину $K$ стороны $S A$ , поэтому по теореме Фалеса $Q$ — середина $S O$ , то есть $S O = 2 QO$ .

Пусть $P$ — середина $B C$ . Медиана $O P$ равностороннего треугольника $O B C$ является его высотой: $O P ⊥ B C$ . Так как $QO ⊥ (A B C)$ , отрезок $O P$ — проекция наклонной $QP$ на плоскость основания. Прямая $B C$ перпендикулярна проекции, значит, по теореме о трёх перпендикулярах $B C ⊥ QP$ .

Прямая $QP$ лежит в $α$ , прямая $O P$ — в плоскости основания, обе перпендикулярны линии пересечения $B C$ . Поэтому $∠ QP O$ — линейный угол двугранного угла. Он острый, так как треугольник $QO P$ прямоугольный с прямым углом $O$ , значит, по условию $∠ QP O = 6 0^{\circ}$ .

Высота равностороннего треугольника $O B C$ со стороной $B C = A B = 6$ :

$O P = \frac{3}{2} \cdot 6 = 33 .$

Из прямоугольного треугольника $QO P$ :

$tg ∠ QP O = \frac{QO}{O P} \Rightarrow QO = O P \cdot tg 6 0^{\circ} = 33 \cdot 3 = 9.$

Так как $Q$ — середина $S O$ , высота пирамиды равна

$S O = 2 QO = 18.$

Ответ: б) $18$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15