В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка M — середина ребра AB. Через точку M проведена плоскость α, параллельная… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2026 развёрнутое

В правильной четырехугольной пирамиде $S A B C D$ точка $M$ — середина ребра $A B .$ Через точку $M$ проведена плоскость $α,$ параллельная плоскости $S B C$ и пересекающая ребро $S D$ в точке $K .$

а) Докажите, что $K$ — середина ребра $S D .$

б) Найдите объем пирамиды $S A B C D,$ если $A B = 12,$ а угол между прямой $M K$ и плоскостью основания пирамиды равен $6 0^{\circ} .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Построим сечение пирамиды плоскостью $α$ . Будем пользоваться теоремой: если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Плоскость $S A B$ пересекает плоскость $S B C$ по прямой $S B$ , поэтому плоскость $α$ она пересекает по прямой, параллельной $S B$ . Проведём $M P ∥ S B$ , $P \in S A$ . Так как $M$ — середина $A B$ , по теореме Фалеса $P$ — середина $S A$ .

Плоскость основания пересекает $S B C$ по прямой $B C$ , поэтому $α$ пересекает основание по прямой $M N ∥ B C$ , $N \in C D$ . В квадрате $A D ∥ B C ∥ M N$ , и по теореме Фалеса $N$ — середина $D C$ .

Плоскость $S D C$ пересекает $S B C$ по прямой $S C$ , поэтому $α$ пересекает плоскость $S D C$ по прямой, проходящей через $N$ параллельно $S C$ . Прямая $S D$ лежит в плоскости $S D C$ , поэтому точка $K$ её пересечения с $α$ лежит на этой прямой: $N K ∥ S C$ . В треугольнике $S D C$ прямая $N K$ проходит через середину $N$ стороны $D C$ параллельно $S C$ , значит, по теореме Фалеса $K$ — середина $S D$ , что и требовалось доказать.

б) Пирамида правильная, поэтому её высота $S O$ падает в центр $O$ квадрата $A B C D$ .

Опустим из $K$ перпендикуляр $K H$ на плоскость основания. Прямые $K H$ и $S O$ перпендикулярны одной плоскости, поэтому параллельны, и $K H$ лежит в плоскости $S O D$ ; значит, $H$ лежит на отрезке $O D$ . Так как $K$ — середина $S D$ и $K H ∥ S O$ , отрезок $K H$ — средняя линия треугольника $S O D$ :

$D H = H O, K H = \frac{1}{2} S O .$

Отрезок $M H$ — проекция $M K$ на плоскость основания, поэтому угол между прямой $M K$ и основанием равен $∠ K M H$ , и по условию $∠ K M H = 6 0^{\circ}$ .

Найдём $M H$ , работая в плоскости основания. Проведём через $H$ прямую, параллельную $A D$ ; пусть она пересекает $A B$ и $D C$ в точках $E$ и $F$ . Тогда $A E F D$ — прямоугольник, $E F = A D = 12$ и $E F ⊥ A B$ .

Отрезок $N O$ соединяет середину стороны $D C$ с центром квадрата, поэтому $N O ⊥ D C$ , $N O ∥ A D$ и $N O = \frac{1}{2} A D = 6$ . В треугольнике $D N O$ прямая $F H$ параллельна $N O$ и проходит через середину $H$ стороны $D O$ , значит, $F H$ — средняя линия:

$F H = \frac{1}{2} N O = 3, D F = \frac{1}{2} D N = 3.$

Тогда $A E = D F = 3$ , $E M = A M - A E = 6 - 3 = 3$ , $E H = E F - F H = 12 - 3 = 9$ . Треугольник $E H M$ прямоугольный с прямым углом $E$ , по теореме Пифагора

$M H = E H^{2} + E M^{2} = 81 + 9 = 90 = 310 .$

Из прямоугольного треугольника $K H M$

$K H = M H \cdot tg 6 0^{\circ} = 310 \cdot 3 = 330 .$

Значит, $S O = 2 K H = 630$ , и объём пирамиды

$V_{S A B C D} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C D} \cdot S O = \frac{1}{3} \cdot 1 2^{2} \cdot 630 = 28830 .$

Ответ: б) $28830$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15