В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ точка K — середина ребра… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Призмы средняя 2026 развёрнутое

В правильной треугольной призме $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ точка $K$ — середина ребра $A_{1} B_{1} .$ Плоскость $α$ проходит через точки $A, K$ и $C .$

а) Докажите, что сечением призмы плоскостью $α$ является равнобедренная трапеция.

б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости сечения, если все ребра призмы равны 6.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Построим сечение. Точки $A$ и $K$ лежат в грани $A A_{1} B_{1} B$ , точки $A$ и $C$ — в основании, поэтому $A K$ и $A C$ — стороны сечения.

Плоскости оснований призмы параллельны. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны. Значит, плоскость $α$ пересекает верхнее основание по прямой, проходящей через $K$ параллельно $A C$ . Пусть она пересекает ребро $B_{1} C_{1}$ в точке $P$ . Сечение — четырёхугольник $A K P C$ .

Так как $A C ∥ A_{1} C_{1}$ , то $K P ∥ A_{1} C_{1}$ . В треугольнике $A_{1} B_{1} C_{1}$ точка $K$ — середина $A_{1} B_{1}$ , и $K P ∥ A_{1} C_{1}$ , поэтому по теореме Фалеса $P$ — середина $B_{1} C_{1}$ , а $K P$ — средняя линия:

$K P = \frac{1}{2} A_{1} C_{1} = \frac{1}{2} A C .$

В четырёхугольнике $A K P C$ стороны $K P$ и $A C$ параллельны, но не равны, поэтому это трапеция с основаниями $A C$ и $K P$ (не параллелограмм).

Докажем, что боковые стороны равны. Призма прямая, поэтому $A A_{1} ⊥ A_{1} K$ и $C C_{1} ⊥ C_{1} P$ . Прямоугольные треугольники $A A_{1} K$ и $C C_{1} P$ равны по двум катетам: $A A_{1} = C C_{1}$ как боковые рёбра, $A_{1} K = C_{1} P$ как половины равных сторон правильного треугольника $A_{1} B_{1} C_{1}$ . Значит, $A K = C P$ , и трапеция $A K P C$ равнобедренная. Что и требовалось доказать.

б) Все рёбра равны 6. Прямые $A K$ и $C P$ — боковые стороны трапеции, поэтому они пересекаются; обозначим точку пересечения $S$ . Точка $S$ лежит на прямой $A K \subset (A B B_{1})$ и на прямой $C P \subset (C B B_{1})$ , значит, она лежит на линии пересечения этих плоскостей — прямой $B B_{1}$ .

В треугольнике $S A B$ отрезок $K B_{1}$ параллелен $A B$ и равен $\frac{1}{2} A B = 3$ . Значит, треугольник $S K B_{1}$ подобен треугольнику $S A B$ с коэффициентом $\frac{1}{2}$ , и $S B_{1} = \frac{1}{2} S B$ . Следовательно, $B_{1}$ — середина $S B$ и

$S B = 2 B B_{1} = 12.$

Пусть $E$ — середина $A C$ . В правильном треугольнике $A B C$ медиана $B E$ является высотой: $B E ⊥ A C$ . Прямая $S B$ совпадает с $B B_{1}$ , поэтому $S B ⊥ (A B C)$ , и $B E$ — проекция наклонной $S E$ на плоскость основания. По теореме о трёх перпендикулярах $S E ⊥ A C$ . Тогда $A C$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $B E$ и $S E$ , то есть $A C ⊥ (S B E)$ .

Опустим в треугольнике $S B E$ высоту $B H$ на сторону $S E$ . Так как $B H$ лежит в плоскости $(S B E)$ , то $B H ⊥ A C$ . Кроме того, $B H ⊥ S E$ . Прямые $A C$ и $S E$ пересекаются и лежат в плоскости $α$ (точки $S$ и $E$ принадлежат $α$ ), поэтому $B H ⊥ α$ , и искомое расстояние равно $B H$ .

Высота правильного треугольника со стороной 6:

$B E = \frac{6 3}{2} = 33 .$

Треугольник $S B E$ прямоугольный с прямым углом $B$ , по теореме Пифагора:

$S E = S B^{2} + B E^{2} = 144 + 27 = 171 = 319 .$

Высота, проведённая к гипотенузе, равна произведению катетов, делённому на гипотенузу:

$B H = \frac{S B \cdot B E}{S E} = \frac{12 \cdot 3 3}{3 19} = \frac{12 3}{19} = \frac{12 57}{19} .$

Ответ: б) $\frac{12 57}{19}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — призмы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15