ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Какие пары можно получить. Пусть $(c;d)$ получена из $(a;b)$: $c=3a+b$, $d=3b-a$. Тогда

$$3c-d=9a+3b-3b+a=10a,c+3d=3a+b+9b-3a=10b.$$

Значит, $c+3d$ делится на $10$. Обратно, пусть $c+3d$ делится на $10$. Тогда и $3c-d=3(c+3d)-10d$ делится на $10$, числа $a=\frac{3c-d}{10}$ и $b=\frac{c+3d}{10}$ целые, и пара $(a;b)$ переходит в $(c;d)$: $3a+b=\frac{9c-3d+c+3d}{10}=c$, $3b-a=\frac{3c+9d-3c+d}{10}=d$.

Итак, пара целых чисел $(c;d)$ получается с помощью операции тогда и только тогда, когда $c+3d$ делится на $10$.

а) Да, можно. Для пары $(5;5)$ число $5+3\cdot 5=20$ делится на $10$; находим $a=\frac{15-5}{10}=1$, $b=\frac{5+15}{10}=2$. Проверка: из $(1;2)$ получается $(3\cdot 1+2;3\cdot 2-1)=(5;5)$.

б) Да, верно. Пусть $(c;d)$ получена из $(a;b)$, то есть $c=3a+b$, $d=3b-a$. Применим операцию к паре $(-b;a)$:

$$(3\cdot (-b)+a;3a-(-b))=(a-3b;3a+b)=(-d;c).$$

Значит, пара $(-d;c)$ тоже получается — из пары $(-b;a)$.

в) Пусть $(9+x;2+y)$ — полученная пара, где $x,y$ — целые. Расстояние до $(9;2)$ равно $|x|+|y|$. По доказанному

$$(9+x)+3(2+y)=15+x+3y\text{делится на}10.$$

Оценка. Число $15+x+3y$ чётно, поэтому $x+3y$ нечётно. Так как $x+3y=(x+y)+2y$, число $x+y$ тоже нечётно, а $|x|+|y|$ имеет ту же чётность, что и $x+y$. Значит, расстояние нечётно и не меньше $1$.

Если $|x|+|y|=1$, то $(x;y)$ — одна из пар $(\pm 1;0)$, $(0;\pm 1)$, и $15+x+3y$ равно $16$, $14$, $18$ или $12$ — ни одно не делится на $10$. Значит, расстояние не меньше $3$.

Пример. Возьмём $x=2$, $y=1$: пара $(11;3)$, $11+3\cdot 3=20$ делится на $10$. Она получается из пары $\left(\frac{33-3}{10};\frac{11+9}{10}\right)=(3;2)$: действительно, $(3\cdot 3+2;3\cdot 2-3)=(11;3)$. Расстояние от $(9;2)$ до $(11;3)$ равно $|11-9|+|3-2|=3$.

Значит, наименьшее расстояние равно $3$.

Ответ: а) да; б) да; в) $3$.