На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 6, а среднее… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Числа на доске и карточках сложная развёрнутое

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 6, а среднее арифметическое шести наибольших равно 12.

а) Может ли наибольшее из этих десяти чисел равняться 14?

б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 8,4?

в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Упорядочим числа по возрастанию: $a_{1} < a_{2} < \dots < a_{10}$ . Сумма шести наименьших равна $6 \cdot 6 = 36$ , сумма шести наибольших равна $6 \cdot 12 = 72$ :

$a_{1} + \dots + a_{6} = 36, a_{5} + \dots + a_{10} = 72.$

Числа $a_{5}$ и $a_{6}$ входят в обе суммы, поэтому сумма всех десяти чисел равна

$a_{1} + \dots + a_{10} = 36 + 72 - (a_{5} + a_{6}) = 108 - (a_{5} + a_{6}) .$

а) Нет. Если $a_{10} = 14$ , то $a_{9} ⩽ 13$ , $a_{8} ⩽ 12$ и так далее (числа различные натуральные). Тогда

$a_{5} + \dots + a_{10} ⩽ 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 69 < 72.$

Противоречие.

б) Нет. Если среднее равно $8, 4$ , то сумма всех чисел равна 84, и $a_{5} + a_{6} = 108 - 84 = 24$ . Так как $a_{5} < a_{6}$ , то $2 a_{6} > 24$ , $a_{6} ⩾ 13$ . Тогда $a_{7} ⩾ 14$ , $a_{8} ⩾ 15$ , $a_{9} ⩾ 16$ , $a_{10} ⩾ 17$ и

$a_{7} + a_{8} + a_{9} + a_{10} ⩾ 14 + 15 + 16 + 17 = 62.$

Но $a_{7} + a_{8} + a_{9} + a_{10} = 72 - 24 = 48 < 62$ . Противоречие.

в) Сумма всех чисел равна $108 - (a_{5} + a_{6})$ , поэтому нужно найти наибольшее возможное значение $a_{5} + a_{6}$ .

Оценка. Так как числа различные натуральные, $a_{7} ⩾ a_{6} + 1$ , $a_{8} ⩾ a_{6} + 2$ , $a_{9} ⩾ a_{6} + 3$ , $a_{10} ⩾ a_{6} + 4$ . Тогда

$72 = a_{5} + a_{6} + a_{7} + \dots + a_{10} ⩾ a_{5} + a_{6} + 4 a_{6} + 10,$

$a_{5} + 5 a_{6} ⩽ 62.$

Рассмотрим два случая.

Если $a_{6} ⩽ 10$ , то $a_{5} ⩽ a_{6} - 1 ⩽ 9$ , и $a_{5} + a_{6} ⩽ 19$ .

Если $a_{6} ⩾ 11$ , то $a_{5} + a_{6} = (a_{5} + 5 a_{6}) - 4 a_{6} ⩽ 62 - 44 = 18$ .

В обоих случаях $a_{5} + a_{6} ⩽ 19$ . Значит, сумма всех чисел не меньше $108 - 19 = 89$ , а среднее арифметическое не меньше $8, 9$ .

Пример. Нужно $a_{5} + a_{6} = 19$ : возьмём $a_{5} = 9$ , $a_{6} = 10$ . Тогда $a_{1} + \dots + a_{4} = 36 - 19 = 17$ (четыре различных числа меньше 9), например $1, 2, 6, 8$ . И $a_{7} + \dots + a_{10} = 72 - 19 = 53$ (четыре различных числа больше 10), например $11, 12, 13, 17$ .

Набор: $1, 2, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 17$ . Числа различные натуральные. Шесть наименьших: $1 + 2 + 6 + 8 + 9 + 10 = 36$ , среднее 6. Шесть наибольших: $9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 17 = 72$ , среднее 12. Сумма всех: $89$ , среднее $8, 9$ .

Ответ: а) нет; б) нет; в) $8, 9$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20