ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Пусть синих карточек $x$, красных $y$ ($x,y⩾1$). По условию наибольшее красное число равно $2x$, а наибольшее синее равно $y$; в частности, $y$ делится на $5$.

Оценка числа красных карточек. Красные числа — различные чётные числа, большие $-120$ и не больше $2x$, то есть они лежат среди чисел $-118,-116,\dots ,2x$. Таких чисел

$$\frac{2x-(-118)}{2}+1=x+60.$$

Значит, $y⩽x+60$.

Оценка числа синих карточек. Синие числа — различные кратные $5$, большие $-120$ и не больше $y$, то есть они лежат среди чисел $-115,-110,\dots ,y$. Таких чисел

$$\frac{y-(-115)}{5}+1=\frac{y}{5}+24.$$

Значит, $x⩽\frac{y}{5}+24$.

а) Да, может. Пример: одна синяя карточка с числом $5$ и пять красных с числами $2$, $0$, $-2$, $-4$, $-6$. Проверим: синее число делится на $5$; красные числа чётные и различные; все числа больше $-120$. Наибольшее красное число $2=2\cdot 1$ — удвоенное число синих карточек. Наибольшее синее число $5$ — число красных карточек. Всего $1+5=6$ карточек.

б) Нет, не может. Если красных карточек на $90$ больше, то $y=x+90>x+60$, а мы доказали, что $y⩽x+60$.

в) Оценка. Подставим $y⩽x+60$ в оценку для $x$:

$$x⩽\frac{y}{5}+24⩽\frac{x+60}{5}+24\iff 5x⩽x+180\iff x⩽45.$$

Тогда общее количество карточек

$$x+y⩽x+(x+60)=2x+60⩽2\cdot 45+60=150.$$

Пример. Чтобы получить $150$, нужно $x=45$, $y=105$, и на карточках должны стоять все допустимые числа подряд.

Синие карточки: $-115,-110,\dots ,100,105$ — их $\frac{105+115}{5}+1=45$. Красные карточки: $-118,-116,\dots ,88,90$ — их $\frac{90+118}{2}+1=105$.

Проверим. Синие числа различны и делятся на $5$, красные различны и чётные, все больше $-120$. Наибольшее красное число $90=2\cdot 45$ — удвоенное число синих карточек. Наибольшее синее число $105$ — число красных карточек. Некоторые числа (например, $90$) написаны и на синей, и на красной карточке — это разрешено. Всего $45+105=150$ карточек.

Ответ: а) да; б) нет; в) $150$.