Из правильной несократимой дроби a/b, где a и b — натуральные числа, за один ход получают дробь (a+b)/(2a+b). а) Можно ли за… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел сложная развёрнутое

Из правильной несократимой дроби $\frac{a}{b}$ , где $a$ и $b$ — натуральные числа, за один ход получают дробь $\frac{a + b}{2 a + b}$ .

а) Можно ли за несколько таких ходов из дроби $\frac{1}{3}$ получить дробь $\frac{22}{31}$ ?

б) Можно ли за два таких хода из некоторой дроби получить дробь $\frac{7}{12}$ ?

в) Несократимая дробь $\frac{c}{d}$ больше 0,7. Найдите наименьшую дробь $\frac{c}{d}$ , которую нельзя получить ни из какой правильной несократимой дроби за два таких хода?

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Сначала заметим: если $\frac{x}{y}$ — правильная несократимая дробь, то и дробь $\frac{x + y}{2 x + y}$ правильная и несократимая. Она правильная, так как $x + y < 2 x + y$ . Если числа $x + y$ и $2 x + y$ делятся на некоторое $q$ , то на $q$ делятся их разность $x$ и затем $y = (x + y) - x$ , а $x$ и $y$ взаимно просты, поэтому $q = 1$ . Значит, ходы можно повторять, и все дроби в цепочке правильные и несократимые.

а) Да, можно:

$\frac{1}{3} \to \frac{1 + 3}{2 + 3} = \frac{4}{5} \to \frac{4 + 5}{8 + 5} = \frac{9}{13} \to \frac{9 + 13}{18 + 13} = \frac{22}{31} .$

б) Нет, нельзя. Сделаем два хода из дроби $\frac{x}{y}$ :

$\frac{x}{y} \to \frac{x + y}{2 x + y} \to \frac{( x + y ) + ( 2 x + y )}{2 ( x + y ) + ( 2 x + y )} = \frac{3 x + 2 y}{4 x + 3 y} .$

Сравним результат с $\frac{2}{3}$ : $3 (3 x + 2 y) - 2 (4 x + 3 y) = x > 0$ , поэтому

$\frac{3 x + 2 y}{4 x + 3 y} > \frac{2}{3} .$

А $\frac{7}{12} < \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ . Значит, за два хода дробь $\frac{7}{12}$ не получить.

в) Опишем все дроби, которые получаются за два хода. Пусть несократимая дробь $\frac{c}{d}$ получена из правильной несократимой дроби $\frac{x}{y}$ . Тогда $\frac{c}{d} = \frac{3 x + 2 y}{4 x + 3 y}$ , и правая дробь тоже несократима (по замечанию в начале). Две несократимые дроби с натуральными числителями и знаменателями равны, только если равны их числители и знаменатели:

${c = 3 x + 2 y, d = 4 x + 3 y \Leftrightarrow {x = 3 c - 2 d, y = 3 d - 4 c .$

Обратно, пусть для несократимой $\frac{c}{d}$ числа $x = 3 c - 2 d$ и $y = 3 d - 4 c$ натуральные и $x < y$ . Тогда $\frac{x}{y}$ правильная, несократимая (общий делитель $x$ и $y$ делит $c = 3 x + 2 y$ и $d = 4 x + 3 y$ ) и за два хода переходит в $\frac{3 x + 2 y}{4 x + 3 y} = \frac{c}{d}$ .

Значит, $\frac{c}{d}$ получается за два хода тогда и только тогда, когда

$⎩ ⎨ ⎧ 3 c - 2 d > 0, 3 d - 4 c > 0, 3 c - 2 d < 3 d - 4 c \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ \frac{c}{d} > \frac{2}{3}, \frac{c}{d} < \frac{3}{4}, \frac{c}{d} < \frac{5}{7} .$

Так как $\frac{5}{7} < \frac{3}{4}$ ( $20 < 21$ ), условие сводится к $\frac{2}{3} < \frac{c}{d} < \frac{5}{7}$ .

Пример. Дробь $\frac{5}{7}$ несократима и больше $0, 7$ , так как $5 \cdot 10 = 50 > 49 = 7 \cdot 7$ . Получить её за два хода нельзя: для неё $x = 15 - 14 = 1$ и $y = 21 - 20 = 1$ , а дробь $\frac{1}{1}$ не правильная.

Оценка. Так как $0, 7 > \frac{2}{3}$ , любая несократимая дробь $\frac{c}{d}$ с $0, 7 < \frac{c}{d} < \frac{5}{7}$ удовлетворяет условию $\frac{2}{3} < \frac{c}{d} < \frac{5}{7}$ и получается за два хода. Значит, меньшей дроби (больше $0, 7$ ), которую нельзя получить, нет.

Ответ: а) да; б) нет; в) $\frac{5}{7}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20