ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Сначала заметим, что ход всегда можно сделать: если $a>b$ — натуральные числа, то $a+b$ и $a-b$ тоже натуральные и $a+b>a-b$, так что новая пара снова подходит под условие. Ход определён однозначно: из каждой пары получается ровно одна следующая.

Сделаем два хода подряд:

$$(a;b)\to (a+b;a-b)\to ((a+b)+(a-b);(a+b)-(a-b))=(2a;2b).$$

Итак, два хода подряд удваивают оба числа пары.

а) Применим ходы к паре $(100;1)$:

$$(100;1)\to (101;99)\to (200;2)\to (202;198)\to (400;4).$$

Через четыре хода получилась пара, в которой большее число равно $400$. Значит, это возможно.

б) Из пары $(100;1)$ получается одна-единственная цепочка пар. Так как каждые два хода удваивают пару, после $2k$ ходов получится пара $(2^k\cdot 100;2^k)$, а после $2k+1$ ходов — следующая за ней пара $(2^k\cdot 101;2^k\cdot 99)$.

В парах первого вида большее число ровно в $100$ раз больше меньшего. У пары $(806;788)$ это не так: $788\cdot 100\ne 806$.

В парах второго вида числа относятся как $101:99$. Для пары $(806;788)$ проверим перекрёстным умножением:

$$806\cdot 99=79794,788\cdot 101=79588,$$

произведения не равны, значит, $806:788\ne 101:99$.

Пара $(806;788)$ не имеет ни одного из двух возможных видов, поэтому получить её из $(100;1)$ нельзя.

в) Выясним, из какой пары $(a;b)$ за один ход получается пара $(c;d)$. Из равенств $a+b=c$ и $a-b=d$ находим

$$a=\frac{c+d}{2},b=\frac{c-d}{2}.$$

Значит, предыдущая пара определяется однозначно. Она существует, только если $c+d$ чётно: тогда $c-d$ тоже чётно и положительно, поэтому $b⩾1$, а $a>b$, так как $d>0$.

Пойдём от пары $(806;788)$ назад.

Сумма $806+788=1594$ чётна, предыдущая пара $\left(\frac{1594}{2};\frac{18}{2}\right)=(797;9)$.

Сумма $797+9=806$ чётна, предыдущая пара $\left(\frac{806}{2};\frac{788}{2}\right)=(403;394)$.

Сумма $403+394=797$ нечётна, поэтому из пары $(403;394)$ шагнуть назад нельзя: её не получить ни из какой пары.

Оценка. Пара, из которой за несколько ходов получается $(806;788)$, обязана стоять в этой обратной цепочке. Значит, это либо $(797;9)$, либо $(403;394)$, и в обоих случаях $a⩾403$.

Пример. Из пары $(403;394)$ нужная пара получается за два хода:

$$(403;394)\to (797;9)\to (806;788).$$

Значит, $a=403$ достигается.

Заметим, что обратная цепочка даёт и второе решение пункта б): пары $(100;1)$ в ней нет.

Ответ: а) да; б) нет; в) $403$.