ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Раскроем модуль, рассмотрев знак выражения $23x+7a$:

$$[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}23x+7a⩾0,\\ x^2+a^2+7x-23a=23x+7a;\end{array}\\ \{\begin{array}{l}23x+7a<0,\\ x^2+a^2+7x-23a=-23x-7a.\end{array}\end{array}$$

Решим задачу графически. Будем считать $a$ второй координатой и изобразим на плоскости $(x;a)$ все пары, удовлетворяющие совокупности. При фиксированном $a$ корни уравнения — абсциссы точек, в которых горизонтальная прямая на высоте $a$ пересекает построенное множество. Нужно найти все $a$, при которых таких точек больше двух.

Первая система. Перенесём всё влево: $x^2-16x+a^2-30a=0$. Выделим полные квадраты: $x^2-16x=(x-8{)}^2-64$, $a^2-30a=(a-15{)}^2-225$. Получаем

$$(x-8{)}^2+(a-15{)}^2=289=17^2.$$

Это окружность ${\omega }_1$ с центром $(8;15)$ и радиусом $17$.

Вторая система. Перенесём всё влево: $x^2+30x+a^2-16a=0$. Так как $x^2+30x=(x+15{)}^2-225$ и $a^2-16a=(a-8{)}^2-64$, получаем

$$(x+15{)}^2+(a-8{)}^2=289.$$

Это окружность ${\omega }_2$ с центром $(-15;8)$ и радиусом $17$.

Граница. Прямая $\ell$: $23x+7a=0$, то есть $a=-\frac{23}{7}x$. Коэффициент при $a$ положителен, поэтому условие $23x+7a⩾0$ задаёт прямую $\ell$ и всё, что выше неё (например, точка $(0;1)$ даёт $7>0$). От окружности ${\omega }_1$ берём точки на прямой $\ell$ и выше неё, от окружности ${\omega }_2$ — точки строго ниже $\ell$.

Точки на прямой $\ell$. На этой прямой правая часть уравнения $|23x+7a|$ равна нулю, и обе системы сводятся к уравнению $x^2+a^2+7x-23a=0$. Подставим $a=-\frac{23}{7}x$:

$$x^2+\frac{529}{49}{x}^2+7x+\frac{529}{7}x=0;\frac{578}{49}{x}^2+\frac{578}{7}x=0;\frac{578}{49}x(x+7)=0.$$

Получаем $x=0$, $a=0$ и $x=-7$, $a=23$, то есть точки $O(0;0)$ и $P(-7;23)$. Обе окружности проходят через эти точки. Других общих точек у окружностей нет: если вычесть одно уравнение окружности из другого, получится $46x+14a=0$, то есть прямая $\ell$.

Какие дуги остаются. Хорда $OP$ делит каждую окружность на две дуги, и большая дуга лежит по ту же сторону от хорды, что и центр. Для центра ${\omega }_1$: $23\cdot 8+7\cdot 15=289>0$ — он выше $\ell$, поэтому от ${\omega }_1$ остаётся большая дуга вместе с концами $O$ и $P$. Для центра ${\omega }_2$: $23\cdot (-15)+7\cdot 8=-289<0$ — он ниже $\ell$, поэтому от ${\omega }_2$ остаётся большая дуга без концов (точки $O$ и $P$ всё равно входят в множество как точки дуги ${\omega }_1$).

Какие точки горизонтальной прямой отбрасываются. Самая левая точка окружности ${\omega }_1$ — $(-9;15)$, и $23\cdot (-9)+7\cdot 15=-102<0$, так что она лежит на отброшенной малой дуге. Левая полуокружность ${\omega }_1$ идёт от нижней точки $(8;-2)$ к верхней $(8;32)$ через $(-9;15)$, и $a$ вдоль неё возрастает. Точки $O$ ($a=0$) и $P$ ($a=23$) лежат на этой полуокружности, а точка $(-9;15)$ — между ними. Поэтому отброшенная малая дуга — это часть левой полуокружности, на которой $0<a<23$. Вывод: при $0<a<23$ левая точка пересечения горизонтальной прямой с ${\omega }_1$ отбрасывается, а правая остаётся; при остальных $a$ все точки ${\omega }_1$ на прямой остаются.

Так же для ${\omega }_2$: её самая правая точка $(2;8)$ даёт $23\cdot 2+7\cdot 8=102>0$ и лежит на отброшенной дуге. Отброшенная дуга — часть правой полуокружности ${\omega }_2$ между $O$ и $P$. Вывод: при $0⩽a⩽23$ правая точка пересечения горизонтальной прямой с ${\omega }_2$ отбрасывается (при $a=0$ и $a=23$ это точки $O$ и $P$, которые учтены на ${\omega }_1$), а левая остаётся.

Нижние и верхние точки. У окружности ${\omega }_1$ нижняя точка $(8;-2)$ и верхняя $(8;32)$, у окружности ${\omega }_2$ — $(-15;-9)$ и $(-15;25)$. Все они лежат на оставленных дугах: $23\cdot 8-7\cdot 2=170>0$, $23\cdot 8+7\cdot 32>0$, $23\cdot (-15)-7\cdot 9<0$, $23\cdot (-15)+7\cdot 25=-170<0$. Расположим характерные значения $a$ по порядку:

$$-9<-2<0<23<25<32.$$

Точки двух дуг могут совпасть только в $O$ и $P$. Посчитаем число точек, двигая горизонтальную прямую снизу вверх.

• $a<-9$: точек нет.
• $a=-9$: касание ${\omega }_2$ в точке $(-15;-9)$ — один корень.
• $-9<a<-2$: две точки на ${\omega }_2$ — два корня.
• $a=-2$: две точки на ${\omega }_2$ и касание ${\omega }_1$ в точке $(8;-2)$ — три корня, подходит.
• $-2<a<0$: по две точки на каждой окружности, все остаются (здесь $a<0$) — четыре корня, подходит.
• $a=0$: на ${\omega }_1$ получаем $(x-8{)}^2=64$, $x=0$ или $x=16$; на ${\omega }_2$ — $(x+15{)}^2=225$, $x=-30$ или $x=0$ (это снова точка $O$). Корни $-30$, $0$, $16$ — три, подходит.
• $0<a<23$: правая точка на ${\omega }_1$ и левая точка на ${\omega }_2$ — два корня.
• $a=23$: на ${\omega }_1$ получаем $(x-8{)}^2=225$, $x=-7$ (точка $P$) или $x=23$; на ${\omega }_2$ — $(x+15{)}^2=64$, $x=-23$ или $x=-7$ (снова $P$). Корни $-23$, $-7$, $23$ — три, подходит.
• $23<a<25$: по две точки на каждой окружности — четыре корня, подходит.
• $a=25$: касание ${\omega }_2$ в точке $(-15;25)$ и две точки на ${\omega }_1$ — три корня, подходит.
• $25<a<32$: две точки на ${\omega }_1$ — два корня.
• $a=32$: один корень; при $a>32$ корней нет.

Больше двух различных корней уравнение имеет при $-2⩽a⩽0$ и при $23⩽a⩽25$.

Ответ: $a\in [-2;0]\cup [23;25]$.