ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Среднее арифметическое $k$ чисел — целое тогда и только тогда, когда их сумма делится на $k$.

Главное наблюдение. Пусть $a$ и $b$ — любые два числа на доске, а $k$ — одно из чисел $3,4,5,6$. Выберем из оставшихся восьми чисел любые $k-1$ (это возможно, так как $k-1⩽5$), их сумму обозначим $T$. Суммы $a+T$ и $b+T$ — это суммы $k$ чисел с доски, поэтому обе делятся на $k$. Тогда и их разность $a-b$ делится на $k$.

Итак, разность любых двух чисел делится на $3$, $4$, $5$ и $6$, а значит, и на их наименьшее общее кратное $60$. Поэтому все числа на доске дают одинаковый остаток при делении на $60$. Так как $30021=60\cdot 500+21$, все записанные числа имеют вид $60q+21$.

Обратно, если все десять чисел имеют вид $60q+21$, то сумма любых $k$ из них равна $60M+21k$ для некоторого целого $M$. При $k=3,4,5,6$ число $60$ делится на $k$, поэтому вся сумма делится на $k$, и среднее арифметическое целое. Это понадобится для примера в пункте в).

а) Число $351=60\cdot 5+51$ даёт остаток $51$ при делении на $60$, а не $21$. Значит, оно не может быть записано на доске.

б) Предположим, что на доске есть числа $a$ и $11a$. Их разность $11a-a=10a$ делится на $60$, значит, $a$ делится на $6$ и, в частности, чётно. Но $a=60q+21$ — нечётное число. Противоречие. Значит, не может.

в) Оценка. Пусть на доске есть числа $a$ и $na$, где $n$ — целое. Числа различны и натуральны, поэтому большее делим на меньшее и $n⩾2$. Разность $na-a=(n-1)a$ делится на $60$.

Число $a=60q+21=3(20q+7)$. Тогда $3(n-1)(20q+7)$ делится на $60=3\cdot 20$, то есть $(n-1)(20q+7)$ делится на $20$. Число $20q+7$ взаимно просто с $20$: оно нечётно и при делении на $5$ даёт остаток $2$. Значит, на $20$ делится $n-1$. Так как $n-1⩾1$, получаем $n-1⩾20$, то есть $n⩾21$.

Пример. Возьмём десять чисел вида $60q+21$ при $q=0,1,\dots ,8$ и $q=500$:

$$21,81,141,201,261,321,381,441,501,30021.$$

Числа натуральные, различные, среди них есть $30021$, и по доказанному выше среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести из них целое. При этом $441=21\cdot 21$, то есть отношение $\frac{441}{21}=21$.

Значит, наименьшее $n$ равно $21$.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $21$.