ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Пусть исходное число $N=\overline{abc}=100a+10b+c$, где $a$ — цифра сотен ($1⩽a⩽9$), $b$ и $c$ — цифры десятков и единиц ($0⩽b,c⩽9$). Сумма цифр равна $a+b+c$, поэтому результат операции

$$M=\frac{100a+10b+c-(a+b+c)}{3}=\frac{99a+9b}{3}=33a+3b=3(11a+b).$$

Результат всегда целый, делится на $3$ и не зависит от цифры единиц $c$.

а) Нужно $3(11a+b)=300$, то есть $11a+b=100$. Так как $0⩽b⩽9$, подходит $a=9$, $b=1$. Возьмём число $910$:

$$\frac{910-(9+1+0)}{3}=\frac{900}{3}=300.$$

Значит, могло.

б) Результат $M=3(11a+b)$ всегда делится на $3$, а $151$ на $3$ не делится (сумма цифр $1+5+1=7$). Значит, не могло.

в) Результат определяется парой цифр $(a;b)$ через число $11a+b$. Разные пары дают разные результаты. Действительно, пусть $11a_1+b_1=11a_2+b_2$. Тогда $11(a_1-a_2)=b_2-b_1$. Справа число по модулю не больше $9$, а слева — кратное $11$. Единственное кратное $11$ с модулем не больше $9$ — это $0$, поэтому $b_1=b_2$ и $a_1=a_2$.

Значит, различных результатов столько же, сколько различных пар $(a;b)$ встречается у чисел от $100$ до $600$.

При $a=1,2,3,4,5$ (числа от $100$ до $599$) цифра $b$ может быть любой от $0$ до $9$ — это $5\cdot 10=50$ пар.

При $a=6$ подходит только число $600$, то есть одна пара $(6;0)$.

Всего $50+1=51$ пара, а значит, $51$ различный результат.

Ответ: а) да; б) нет; в) $51$.