ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Пусть числа на доске упорядочены по возрастанию: $a_1<a_2<a_3<\dots$ Среди попарных произведений самое маленькое — произведение двух наименьших чисел $a_1{a}_2$, а самое большое — произведение двух наибольших. Поэтому условие выполнено, если $a_1{a}_2>45$ и произведение двух наибольших чисел меньше $120$.

Ключевая оценка. Так как $a_1<a_2$, то $a_2^2>a_1{a}_2>45$, откуда $a_2⩾7$ (ведь $6^2=36<45$). Если $a_2=7$, то $a_1⩽6$ и $a_1{a}_2⩽42<45$ — противоречие. Значит, $a_2⩾8$. Числа натуральные и различные, поэтому дальше $a_3⩾9$, $a_4⩾10$, $a_5⩾11$, $a_6⩾12$.

а) Пример: $6,8,9,10,11$. Выпишем все попарные произведения:

$$6\cdot 8=48,6\cdot 9=54,6\cdot 10=60,6\cdot 11=66,8\cdot 9=72,$$

$$8\cdot 10=80,8\cdot 11=88,9\cdot 10=90,9\cdot 11=99,10\cdot 11=110.$$

Все они больше $45$ и меньше $120$. Ответ: да, может.

б) Предположим, что чисел шесть. По ключевой оценке $a_5⩾11$ и $a_6⩾12$, поэтому

$$a_5{a}_6⩾11\cdot 12=132>120,$$

что противоречит условию. Ответ: нет.

в) Пусть чисел четыре: $a_1<a_2<a_3<a_4$.

Оценка. Так как $a_3⩾a_2+1$ и $a_4⩾a_2+2$, то

$$(a_2+1)(a_2+2)⩽a_3{a}_4<120.$$

При $a_2⩾10$ левая часть не меньше $11\cdot 12=132$, поэтому $a_2⩽9$. Тогда из $a_1{a}_2>45$ получаем $a_1>\frac{45}{a_2}⩾\frac{45}{9}=5$, то есть $a_1⩾6$. Вместе с ключевой оценкой:

$$a_1+a_2+a_3+a_4⩾6+8+9+10=33.$$

Пример. Числа $6,8,9,10$. Их попарные произведения $48,54,60,72,80,90$ — все больше $45$ и меньше $120$. Сумма равна $33$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $33$.