ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Среднее арифметическое $k$ чисел — целое тогда и только тогда, когда их сумма делится на $k$.

Главное свойство. Возьмём любые два записанных числа $a$ и $b$ и любое $k\in \{3,4,5,6\}$. Кроме $a$ и $b$, на доске ещё $8$ чисел; выберем из них любые $k-1$ (это можно, так как $k-1⩽5$) и обозначим их сумму через $A$. Суммы $A+a$ и $A+b$ — это суммы $k$ записанных чисел, поэтому обе делятся на $k$, а значит, на $k$ делится и их разность $a-b$.

Итак, разность любых двух чисел делится на $3$, $4$, $5$ и $6$, то есть на их наименьшее общее кратное $60$. Значит, все числа дают одинаковый остаток при делении на $60$. Так как $30033=60\cdot 500+33$, этот остаток равен $33$, и каждое записанное число имеет вид $60q+33$.

Обратное утверждение (нужно для примера). Если все $10$ различных чисел имеют вид $60q+33$, то сумма любых $k$ из них равна $33k+60t$ при некотором целом $t$. При $k=3,4,5,6$ число $60$ делится на $k$, поэтому вся сумма делится на $k$, и среднее арифметическое целое.

а) Нет: $303=60\cdot 5+3$ даёт при делении на $60$ остаток $3$, а не $33$.

б) Нет. Пусть на доске есть числа $a$ и $b=31a$. Их разность $b-a=30a$ делится на $60$, поэтому $a$ чётно. Но все числа вида $60q+33$ нечётны. Противоречие.

в) Оценка. Значение $n=1$ невозможно: отношение $1$ означало бы, что два числа равны. Пусть на доске есть числа $a$ и $b=n^{2}a$, где $n⩾2$. Их разность $(n^2-1)a$ делится на $60$.

Число $a=60q+33=3(20q+11)$. Множитель $20q+11$ нечётен и даёт остаток $1$ при делении на $5$, поэтому он взаимно прост с $20$. Из того, что $3(n^2-1)(20q+11)$ делится на $60=3\cdot 20$, получаем: $(n^2-1)(20q+11)$ делится на $20$, а значит, $n^2-1$ делится на $20$.

Переберём $n$ от $2$ до $8$:

$$n^2-1=3,8,15,24,35,48,63$$

— ни одно из этих чисел не делится на $20$. При $n=9$ получаем $n^2-1=80$, оно делится на $20$. Значит, $n⩾9$.

Пример. Числа

$$33,93,153,213,273,333,393,453,2673,30033.$$

Их десять, все различны и все имеют вид $60q+33$: $33=60\cdot 0+33$, $93=60\cdot 1+33$, …, $453=60\cdot 7+33$, $2673=60\cdot 44+33$, $30033=60\cdot 500+33$. По обратному утверждению среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести из них целое. Число $30033$ среди них есть, и $\frac{2673}{33}=81=9^2$.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $9$.