ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №17 — оптимизация

Разбор — 2 балла

Начнём с модели. Пусть в некоторый год цена равна $p$, а завод выпускает $x$ тыс. единиц продукции, $x⩾0$. Прибыль за этот год (в млн рублей) равна

$$f(x)=px-\left(0,5x^2+2x+6\right)=-0,5x^2+(p-2)x-6,x\in [0;+\infty ).$$

В течение года цена фиксирована, поэтому $f$ — функция одной переменной $x$. Фирма выбирает выпуск так, чтобы прибыль была наибольшей, значит, прибыль за год равна наибольшему значению $f(x)$ на $[0;+\infty )$.

Найдём производную. Производная суммы равна сумме производных, постоянный множитель выносится, $(x^2{)}^{\prime }=2x$, $(x{)}^{\prime }=1$, производная числа равна нулю:

$$f^{\prime }(x)=-0,5\cdot 2x+(p-2)=p-2-x.$$

Производная обращается в нуль при $x=p-2$. По условию цена каждый год не меньше $10$, поэтому $p-2⩾8>0$, и эта точка лежит внутри промежутка $(0;+\infty )$. Производная $p-2-x$ положительна при $x<p-2$ и отрицательна при $x>p-2$:

Значит, на $[0;p-2]$ функция возрастает, на $[p-2;+\infty )$ убывает, и наибольшее значение достигается в точке максимума $x=p-2$:

$$f(p-2)=p(p-2)-2(p-2)-0,5(p-2{)}^2-6=(p-2{)}^2-0,5(p-2{)}^2-6=0,5(p-2{)}^2-6.$$

Итак, при цене $p$ годовая прибыль равна $0,5(p-2{)}^2-6$ млн рублей. Посчитаем её по годам: в первый год $p=10$, дальше цена растёт на $1$ каждый год.

1-й год, $p=10$: $0,5\cdot 8^2-6=32-6=26$ млн рублей.

2-й год, $p=11$: $0,5\cdot 9^2-6=40,5-6=34,5$ млн рублей.

3-й год, $p=12$: $0,5\cdot 10^2-6=50-6=44$ млн рублей.

4-й год, $p=13$: $0,5\cdot 11^2-6=60,5-6=54,5$ млн рублей.

Строительство окупится, когда суммарная прибыль станет не меньше $159$ млн рублей. Сложим прибыли нарастающим итогом:

$$26+34,5=60,5<159,60,5+44=104,5<159,104,5+54,5=159.$$

За три года фирма получит только $104,5$ млн рублей, и строительство ещё не окупится. За четыре года суммарная прибыль составит ровно $159$ млн рублей, то есть строительство окупится.

Ответ: за $4$ года.