ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №17 — оптимизация

Разбор — 2 балла

1. Модель. Подставим силу тока из закона Ома в формулу мощности:

$$P=I^{2}R={\left(\frac{\epsilon }{r+R}\right)}^{2}R=\frac{{\epsilon }^{2}R}{(r+R{)}^2}.$$

При $\epsilon =50$ и $r=5$ мощность зависит только от сопротивления нагрузки:

$$P(R)=\frac{2500R}{(R+5{)}^2}.$$

Сопротивление нагрузки положительно, поэтому исследуем функцию на промежутке $R>0$. На нём знаменатель не обращается в нуль, функция определена и дифференцируема.

2. Производная. По правилу производной частного ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, где $u=2500R$, $u^{\prime }=2500$, $v=(R+5{)}^2$. Производную $v$ найдём по правилу сложной функции: $v^{\prime }=2(R+5)\cdot (R+5{)}^{\prime }=2(R+5)$. Тогда

$$P^{\prime }(R)=\frac{2500(R+5{)}^2-2500R\cdot 2(R+5)}{(R+5{)}^4}.$$

Вынесем в числителе общий множитель $2500(R+5)$ и сократим на $R+5\ne 0$:

$$P^{\prime }(R)=\frac{2500(R+5)\left(R+5-2R\right)}{(R+5{)}^4}=\frac{2500(5-R)}{(R+5{)}^3}.$$

3. Нули производной. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: $5-R=0$, $R=5$. Точка лежит в рассматриваемом промежутке $R>0$.

4. Знаки производной. При $R>0$ знаменатель $(R+5{)}^3$ положителен, поэтому знак $P^{\prime }$ совпадает со знаком $5-R$. Пробные точки:

$$P^{\prime }(1)=\frac{2500\cdot 4}{6^3}>0,P^{\prime }(10)=\frac{2500\cdot (-5)}{15^3}<0.$$

На рисунке показан только промежуток $R>0$: левый промежуток — это $(0;5)$.

5. Вывод. Функция $P(R)$ возрастает на $(0;5]$ и убывает на $[5;+\infty )$. Значит, при любом $R>0$ выполнено $P(R)⩽P(5)$, и наибольшая мощность выделяется при $R=5$ Ом:

$$P(5)=\frac{2500\cdot 5}{10^2}=125\text{Вт}.$$

Получилось, что мощность на нагрузке наибольшая, когда сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника: $R=r$.

Ответ: $5$ Ом.