ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №17 — оптимизация

Разбор — 2 балла

Начнём с модели. Пусть завод выпускает $x$ тыс. единиц продукции в год, $x⩾0$. При цене $p$ прибыль за год (в млн рублей) равна

$$f(x)=px-\left(0,5x^2+2x+6\right)=-0,5x^2+(p-2)x-6,x\in [0;+\infty ).$$

Цена $p$ здесь фиксирована, поэтому $f$ — функция одной переменной $x$. Фирма каждый год выбирает выпуск так, чтобы прибыль была наибольшей, значит, годовая прибыль равна наибольшему значению $f(x)$ на промежутке $[0;+\infty )$. Найдём его.

Найдём производную. Производная суммы равна сумме производных, постоянный множитель выносится за знак производной, $(x^2{)}^{\prime }=2x$, $(x{)}^{\prime }=1$, производная числа равна нулю:

$$f^{\prime }(x)=-0,5\cdot 2x+(p-2)=p-2-x.$$

Производная определена при всех $x$ и обращается в нуль при $x=p-2$.

Если $p⩽2$, то при $x>0$ получаем $f^{\prime }(x)=(p-2)-x<0$: функция убывает на всём промежутке $[0;+\infty )$, и наибольшее значение равно $f(0)=-6$. Прибыль отрицательна, завод не окупится никогда. Поэтому дальше считаем $p>2$.

Если $p>2$, то точка $x=p-2$ лежит внутри промежутка $(0;+\infty )$. Производная $p-2-x$ положительна при $x<p-2$ и отрицательна при $x>p-2$:

Значит, на $[0;p-2]$ функция $f$ возрастает, на $[p-2;+\infty )$ убывает, и $x=p-2$ — точка максимума. Именно в ней достигается наибольшее значение $f$ на промежутке $[0;+\infty )$:

$$f(p-2)=p(p-2)-2(p-2)-0,5(p-2{)}^2-6=(p-2{)}^2-0,5(p-2{)}^2-6=0,5(p-2{)}^2-6.$$

Итак, при цене $p>2$ фирма каждый год получает $0,5(p-2{)}^2-6$ млн рублей. Цена не меняется, поэтому прибыль одинакова во все годы, и за $3$ года фирма получит втрое больше.

Строительство окупится не больше чем за $3$ года, если прибыль за три года не меньше стоимости завода, то есть $78$ млн рублей:

$$3\left(0,5(p-2{)}^2-6\right)⩾78.$$

Разделим обе части на $3$ и перенесём $6$ вправо:

$$0,5(p-2{)}^2⩾32\iff (p-2{)}^2⩾64.$$

Раскроем скобки: $p^2-4p+4⩾64$, то есть $p^2-4p-60⩾0$. Корни квадратного трёхчлена по теореме Виета: $p=10$ и $p=-6$ (их сумма $4$, произведение $-60$). Значит, неравенство имеет вид

$$(p-10)(p+6)⩾0.$$

Решим его методом интервалов: на крайних промежутках произведение положительно, между корнями отрицательно.

Получаем $p⩽-6$ или $p⩾10$. С учётом условия $p>2$ остаётся $p⩾10$, и наименьшее подходящее значение — $p=10$.

Проверка: при $p=10$ наибольшая годовая прибыль равна $0,5\cdot 8^2-6=26$ млн рублей, за три года — $3\cdot 26=78$ млн рублей, то есть завод окупается ровно за $3$ года.

Ответ: $10$.