Источник постоянного напряжения имеет электродвижущую силу ε=40 В и внутреннее сопротивление r=2… — 17 задание ЕГЭ профиль

№17 Оптимизация средняя 2026 развёрнутое

Источник постоянного напряжения имеет электродвижущую силу $ε = 40$ В и внутреннее сопротивление $r = 2$ Ом. Сила тока в цепи при подключении к этому источнику нагрузки определяется законом Ома:

$I = \frac{ε}{r + R},$

где $R$ — сопротивление нагрузки (в омах). Тепловая мощность в ваттах, выделяемая на нагрузке, равна $P = I^{2} R$ (закон Джоуля–Ленца). При каком сопротивлении нагрузки $R$ выделяемая на ней тепловая мощность $P$ наибольшая?

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 2 балла

Составим модель. Подставим силу тока из закона Ома в формулу мощности:

$P = I^{2} R = (\frac{ε}{r + R})^{2} R = \frac{ε ^{2} R}{( r + R ) ^{2}} .$

По условию $ε = 40$ В и $r = 2$ Ом, поэтому $ε^{2} = 1600$ и мощность зависит только от сопротивления нагрузки:

$P (R) = \frac{1600 R}{( 2 + R ) ^{2}} .$

Сопротивление нагрузки — положительная величина, поэтому рассматриваем функцию на промежутке $R > 0$ . Там знаменатель не обращается в ноль, и функция определена. Нужно найти, при каком $R$ из этого промежутка она принимает наибольшее значение.

Найдём производную по правилу дифференцирования частного $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ , где $u = 1600 R$ , $u^{'} = 1600$ , $v = (2 + R)^{2}$ . Производную $v$ найдём по правилу дифференцирования сложной функции: $v^{'} = 2 (2 + R) \cdot (2 + R)^{'} = 2 (2 + R)$ . Получаем

$P^{'} (R) = \frac{1600 \cdot ( 2 + R ) ^{2} - 1600 R \cdot 2 ( 2 + R )}{( 2 + R ) ^{4}} .$

Вынесем в числителе общий множитель $1600 (2 + R)$ и сократим дробь на $2 + R \neq = 0$ :

$P^{'} (R) = \frac{1600 ( 2 + R ) ( 2 + R - 2 R )}{( 2 + R ) ^{4}} = \frac{1600 ( 2 - R )}{( 2 + R ) ^{3}} .$

Найдём нули производной. При $R > 0$ знаменатель $(2 + R)^{3}$ положителен, поэтому производная существует на всём промежутке и

$P^{'} (R) = 0 \Leftrightarrow 2 - R = 0 \Leftrightarrow R = 2.$

Определим знаки производной. Знак $P^{'}$ совпадает со знаком $2 - R$ : плюс при $0 < R < 2$ и минус при $R > 2$ . Например, $P^{'} (1) = \frac{1600}{27} > 0$ , $P^{'} (6) = \frac{1600 \cdot ( - 4 )}{512} < 0$ . Отметим знаки на промежутке $R > 0$ (крайний левый промежуток на рисунке — это $(0; 2)$ ):

Метод интервалов

Значит, функция $P (R)$ возрастает на $(0; 2]$ и убывает на $[2; + \infty)$ . Поэтому $R = 2$ — точка максимума, и при любом другом $R > 0$ мощность меньше, чем при $R = 2$ . Наибольшая мощность при этом равна

$P (2) = \frac{1600 \cdot 2}{( 2 + 2 ) ^{2}} = \frac{3200}{16} = 200 Вт .$

Заметим, что наибольшая мощность выделяется, когда сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника: $R = r = 2$ Ом.

Ответ: $2$ Ом.

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №17 — оптимизация

Сообщить об ошибке

Ещё задания №17