ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №17 — оптимизация

Разбор — 2 балла

Модель. Подставим закон Ома в формулу мощности:

$$P=I^{2}R={\left(\frac{\epsilon }{r+R}\right)}^{2}R=\frac{{\epsilon }^{2}R}{(r+R{)}^2}.$$

При $\epsilon =50$ В и $r=10$ Ом мощность становится функцией одного переменного $R$:

$$P(R)=\frac{50^2\cdot R}{(R+10{)}^2}=\frac{2500R}{(R+10{)}^2}.$$

Сопротивление нагрузки не может быть отрицательным, поэтому рассматриваем функцию на промежутке $R⩾0$. На нём знаменатель $(R+10{)}^2$ положителен, и функция определена.

Нужно найти, при каком $R⩾0$ функция $P(R)$ принимает наибольшее значение.

Производная. Воспользуемся правилом дифференцирования частного ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, где $u=2500R$, $v=(R+10{)}^2$. Имеем $u^{\prime }=2500$, а по правилу сложной функции $v^{\prime }=2(R+10)\cdot (R+10{)}^{\prime }=2(R+10)$. Получаем

$$P^{\prime }(R)=\frac{2500(R+10{)}^2-2500R\cdot 2(R+10)}{(R+10{)}^4}.$$

Вынесем в числителе общий множитель $2500(R+10)$ и сократим дробь на $R+10\ne 0$:

$$P^{\prime }(R)=\frac{2500(R+10)((R+10)-2R)}{(R+10{)}^4}=\frac{2500(10-R)}{(R+10{)}^3}.$$

Производная существует при всех $R⩾0$.

Нули производной. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет:

$$2500(10-R)=0,R=10.$$

Других критических точек при $R⩾0$ нет.

Знаки производной. При $R⩾0$ знаменатель $(R+10{)}^3$ положителен, поэтому знак $P^{\prime }(R)$ совпадает со знаком выражения $10-R$: при $0⩽R<10$ производная положительна, при $R>10$ — отрицательна. Отметим знаки производной на промежутке $[0;+\infty )$:

Значит, функция $P(R)$ возрастает на отрезке $[0;10]$ и убывает на промежутке $[10;+\infty )$. Сначала мощность растёт, а после $R=10$ уменьшается, поэтому наибольшее значение достигается при $R=10$ Ом:

$$P(10)=\frac{2500\cdot 10}{20^2}=62,5\text{Вт}.$$

Заметим, что наибольшая мощность выделяется, когда сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника: $R=r$.

Ответ: $10$ Ом.