Источник постоянного напряжения имеет электродвижущую силу ε=40 В и внутреннее сопротивление r=1… — 17 задание ЕГЭ профиль

№17 Оптимизация средняя 2026 развёрнутое

Источник постоянного напряжения имеет электродвижущую силу $ε = 40$ В и внутреннее сопротивление $r = 1$ Ом. Сила тока в цепи при подключении к этому источнику нагрузки определяется законом Ома:

$I = \frac{ε}{r + R},$

где $R$ — сопротивление нагрузки (в омах). Тепловая мощность в ваттах, выделяемая на нагрузке, равна $P = I^{2} R$ (закон Джоуля–Ленца). При каком сопротивлении нагрузки $R$ выделяемая на ней тепловая мощность $P$ наибольшая?

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 2 балла

Составим модель. Подставим силу тока из закона Ома в формулу мощности:

$P = I^{2} R = (\frac{ε}{r + R})^{2} R = \frac{ε ^{2} R}{( r + R ) ^{2}} .$

При $ε = 40$ В и $r = 1$ Ом получаем функцию одной переменной $R$ :

$P (R) = \frac{1600 R}{( 1 + R ) ^{2}} .$

Сопротивление нагрузки — положительная величина, поэтому исследуем функцию на промежутке $R > 0$ . Там знаменатель не обращается в нуль.

Найдём производную по правилу частного $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ , где $u = 1600 R$ , $u^{'} = 1600$ , $v = (1 + R)^{2}$ и, по правилу сложной функции, $v^{'} = 2 (1 + R)$ :

$P^{'} (R) = \frac{1600 ( 1 + R ) ^{2} - 1600 R \cdot 2 ( 1 + R )}{( 1 + R ) ^{4}} = \frac{1600 ( 1 + R ) ( ( 1 + R ) - 2 R )}{( 1 + R ) ^{4}} = = \frac{1600 ( 1 - R )}{( 1 + R ) ^{3}} .$

Производная существует при всех $R > 0$ . Дробь равна нулю, когда равен нулю числитель:

$1600 (1 - R) = 0 \Leftrightarrow R = 1.$

При $R > 0$ знаменатель $(1 + R)^{3}$ положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком $1 - R$ : при $0 < R < 1$ производная положительна, при $R > 1$ — отрицательна. На области определения знаки такие (левый промежуток — это $(0; 1)$ ):

Метод интервалов

Функция $P (R)$ возрастает на $(0; 1]$ и убывает на $[1; + \infty)$ . Значит, $R = 1$ — точка максимума, и именно в ней мощность наибольшая: $P (1) = \frac{1600}{4} = 400$ Вт.

Ответ: $1$ Ом.

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №17 — оптимизация

Сообщить об ошибке

Ещё задания №17