Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке на волнении… — 17 задание ЕГЭ профиль

№17 Оптимизация сложная развёрнутое

Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке на волнении выражается формулой

$A = k θ_{0} \cdot \frac{τ ^{2}}{( T ^{2} - τ ^{2} ) ^{2} + n τ ^{2} T ^{2}},$

где $k = 0, 91$ — коэффициент, зависящий от отношения ширины корабля к длине волны, $θ_{0} = 9^{\circ}$ — угол наибольшего волнового склона, $τ$ — период волны (в секундах), $T = 14, 7$ с — период свободных качаний корабля на тихой воде, $n = 0, 0792$ — коэффициент, зависящий от величины сопротивления воды. При каком периоде волны амплитуда вынужденных колебаний корабля будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 2 балла

Составим модель. Период волны $τ$ — переменная, он может быть любым положительным числом; остальные величины ( $k$ , $θ_{0}$ , $T$ , $n$ ) — постоянные. Значит, исследуем функцию $A (τ)$ на промежутке $(0; + \infty)$ .

При $τ > 0$ амплитуда положительна. Для положительных чисел большему значению $A$ соответствует большее значение $A^{2}$ , поэтому $A$ и $A^{2}$ достигают наибольшего значения при одном и том же $τ$ . Возведём формулу в квадрат и раскроем скобки в знаменателе:

$A^{2} = (k θ_{0})^{2} \cdot \frac{τ ^{4}}{( T ^{2} - τ ^{2} ) ^{2} + n τ ^{2} T ^{2}} = = (k θ_{0})^{2} \cdot \frac{τ ^{4}}{τ ^{4} - 2 T ^{2} τ ^{2} + T ^{4} + n T ^{2} τ ^{2}} = (k θ_{0})^{2} \cdot \frac{τ ^{4}}{τ ^{4} + ( n - 2 ) T ^{2} τ ^{2} + T ^{4}} .$

Сделаем замену $x = τ^{2}$ . При $τ > 0$ функция $x = τ^{2}$ возрастает и принимает все положительные значения, так что каждому $x > 0$ соответствует ровно одно $τ = x$ . Множитель $(k θ_{0})^{2}$ — положительная постоянная, на положение максимума он не влияет. Итак, нужно найти точку максимума функции

$f (x) = \frac{x ^{2}}{x ^{2} + ( n - 2 ) T ^{2} x + T ^{4}}, x > 0.$

Знаменатель при $x > 0$ положителен, ведь он равен $(T^{2} - x)^{2} + n T^{2} x$ — сумме неотрицательного и положительного чисел. Поэтому $f$ определена на всём промежутке $(0; + \infty)$ . Обозначим знаменатель через $D (x)$ .

Найдём производную по правилу дифференцирования частного $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ , где $u = x^{2}$ , $u^{'} = 2 x$ , $v = D (x)$ , $v^{'} = 2 x + (n - 2) T^{2}$ :

$f^{'} (x) = \frac{2 x ( x ^{2} + ( n - 2 ) T ^{2} x + T ^{4} ) - x ^{2} ( 2 x + ( n - 2 ) T ^{2} )}{D ^{2} ( x )} = = \frac{2 x ^{3} + 2 ( n - 2 ) T ^{2} x ^{2} + 2 T ^{4} x - 2 x ^{3} - ( n - 2 ) T ^{2} x ^{2}}{D ^{2} ( x )} = = \frac{( n - 2 ) T ^{2} x ^{2} + 2 T ^{4} x}{D ^{2} ( x )} = \frac{T ^{2} x ( 2 T ^{2} - ( 2 - n ) x )}{D ^{2} ( x )} .$

Производная существует при всех $x > 0$ , так как $D (x) \neq = 0$ . При $x > 0$ множители $T^{2}$ , $x$ и знаменатель $D^{2} (x)$ положительны, поэтому

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 2 T^{2} - (2 - n) x = 0 \Leftrightarrow x_{0} = \frac{2 T ^{2}}{2 - n} = \frac{T ^{2}}{1 - \frac{n}{2}} .$

Подставим числа: $T^{2} = 14, 7^{2} = 216, 09$ , $1 - \frac{n}{2} = 1 - 0, 0396 = 0, 9604 = 0, 9 8^{2}$ . Тогда

$x_{0} = \frac{14 , 7 ^{2}}{0 , 9 8 ^{2}} = (\frac{14 , 7}{0 , 98})^{2} = 1 5^{2} = 225.$

Знак производной совпадает со знаком множителя $2 T^{2} - (2 - n) x$ . Так как $n = 0, 0792 < 2$ , коэффициент при $x$ в нём отрицателен, и этот линейный множитель убывает: он положителен при $0 < x < 225$ и отрицателен при $x > 225$ . На области определения знаки такие (левый промежуток — это $(0; 225)$ ):

Метод интервалов

Функция $f$ возрастает на $(0; 225]$ и убывает на $[225; + \infty)$ , поэтому наибольшее значение она принимает в точке максимума $x_{0} = 225$ . Значит, и амплитуда $A$ наибольшая при

$τ_{0} = x_{0} = 225 = 15.$

Ответ: $15$ с.

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №17 — оптимизация

Сообщить об ошибке

Ещё задания №17