ЕГЭ по профильной математике 2027 Как решать задание №17 — оптимизация

Разбор — 2 балла

Составим модель. Подставим силу тока из закона Ома в формулу мощности:

$$P=I^{2}R={\left(\frac{\epsilon }{r+R}\right)}^{2}R=\frac{{\epsilon }^{2}R}{(r+R{)}^2}.$$

По условию $\epsilon =50$ В и $r=1$ Ом, поэтому ${\epsilon }^2=2500$ и мощность зависит только от сопротивления нагрузки:

$$P(R)=\frac{2500R}{(1+R{)}^2}.$$

Сопротивление нагрузки — положительная величина, поэтому рассматриваем функцию на промежутке $R>0$. Там знаменатель не обращается в ноль, и функция определена. Нужно найти её наибольшее значение на этом промежутке.

Найдём производную по правилу дифференцирования частного ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, где $u=2500R$, $u^{\prime }=2500$, $v=(1+R{)}^2$. Производную $v$ найдём по правилу дифференцирования сложной функции: $v^{\prime }=2(1+R)\cdot (1+R{)}^{\prime }=2(1+R)$. Получаем

$$P^{\prime }(R)=\frac{2500\cdot (1+R{)}^2-2500R\cdot 2(1+R)}{(1+R{)}^4}.$$

Вынесем в числителе общий множитель $2500(1+R)$ и сократим дробь на $1+R\ne 0$:

$$P^{\prime }(R)=\frac{2500(1+R)\left(1+R-2R\right)}{(1+R{)}^4}=\frac{2500(1-R)}{(1+R{)}^3}.$$

Найдём нули производной. При $R>0$ знаменатель $(1+R{)}^3$ положителен, поэтому производная существует на всём промежутке и

$$P^{\prime }(R)=0\iff 1-R=0\iff R=1.$$

Определим знаки производной. Знак $P^{\prime }$ совпадает со знаком $1-R$: плюс при $0<R<1$ и минус при $R>1$. Например, $P^{\prime }(3)=\frac{2500\cdot (-2)}{64}<0$. Отметим знаки на промежутке $R>0$ (крайний левый промежуток на рисунке — это $(0;1)$):

Значит, функция $P(R)$ возрастает на $(0;1]$ и убывает на $[1;+\infty )$. Поэтому $R=1$ — точка максимума, и при любом другом $R>0$ мощность меньше, чем при $R=1$. Наибольшее значение мощности равно

$$P(1)=\frac{2500\cdot 1}{(1+1{)}^2}=\frac{2500}{4}=625.$$

Проверим результат без производной. Перевернём дробь: $\frac{(1+R{)}^2}{R}=R+2+\frac{1}{R}$. По неравенству о средних $R+\frac{1}{R}⩾2$, причём равенство достигается только при $R=1$. Значит, $\frac{(1+R{)}^2}{R}⩾4$ и $P⩽\frac{2500}{4}=625$ — результат совпал.

Ответ: $625$ Вт.

Разбор — 2 балла

Составим модель. Подставим силу тока из закона Ома в формулу мощности:

$$P=I^{2}R={\left(\frac{\epsilon }{r+R}\right)}^{2}R=\frac{{\epsilon }^{2}R}{(r+R{)}^2}.$$

По условию $\epsilon =40$ В и $r=2$ Ом, поэтому ${\epsilon }^2=1600$ и мощность зависит только от сопротивления нагрузки:

$$P(R)=\frac{1600R}{(2+R{)}^2}.$$

Сопротивление нагрузки — положительная величина, поэтому рассматриваем функцию на промежутке $R>0$. Там знаменатель не обращается в ноль, и функция определена. Нужно найти, при каком $R$ из этого промежутка она принимает наибольшее значение.

Найдём производную по правилу дифференцирования частного ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, где $u=1600R$, $u^{\prime }=1600$, $v=(2+R{)}^2$. Производную $v$ найдём по правилу дифференцирования сложной функции: $v^{\prime }=2(2+R)\cdot (2+R{)}^{\prime }=2(2+R)$. Получаем

$$P^{\prime }(R)=\frac{1600\cdot (2+R{)}^2-1600R\cdot 2(2+R)}{(2+R{)}^4}.$$

Вынесем в числителе общий множитель $1600(2+R)$ и сократим дробь на $2+R\ne 0$:

$$P^{\prime }(R)=\frac{1600(2+R)\left(2+R-2R\right)}{(2+R{)}^4}=\frac{1600(2-R)}{(2+R{)}^3}.$$

Найдём нули производной. При $R>0$ знаменатель $(2+R{)}^3$ положителен, поэтому производная существует на всём промежутке и

$$P^{\prime }(R)=0\iff 2-R=0\iff R=2.$$

Определим знаки производной. Знак $P^{\prime }$ совпадает со знаком $2-R$: плюс при $0<R<2$ и минус при $R>2$. Например, $P^{\prime }(1)=\frac{1600}{27}>0$, $P^{\prime }(6)=\frac{1600\cdot (-4)}{512}<0$. Отметим знаки на промежутке $R>0$ (крайний левый промежуток на рисунке — это $(0;2)$):

Значит, функция $P(R)$ возрастает на $(0;2]$ и убывает на $[2;+\infty )$. Поэтому $R=2$ — точка максимума, и при любом другом $R>0$ мощность меньше, чем при $R=2$. Наибольшая мощность при этом равна

$$P(2)=\frac{1600\cdot 2}{(2+2{)}^2}=\frac{3200}{16}=200\text{Вт}.$$

Заметим, что наибольшая мощность выделяется, когда сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника: $R=r=2$ Ом.

Ответ: $2$ Ом.

Разбор — 2 балла

Модель. Подставим закон Ома в формулу мощности:

$$P=I^{2}R={\left(\frac{\epsilon }{r+R}\right)}^{2}R=\frac{{\epsilon }^{2}R}{(r+R{)}^2}.$$

При $\epsilon =50$ В и $r=10$ Ом мощность становится функцией одного переменного $R$:

$$P(R)=\frac{50^2\cdot R}{(R+10{)}^2}=\frac{2500R}{(R+10{)}^2}.$$

Сопротивление нагрузки не может быть отрицательным, поэтому рассматриваем функцию на промежутке $R⩾0$. На нём знаменатель $(R+10{)}^2$ положителен, и функция определена.

Нужно найти, при каком $R⩾0$ функция $P(R)$ принимает наибольшее значение.

Производная. Воспользуемся правилом дифференцирования частного ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, где $u=2500R$, $v=(R+10{)}^2$. Имеем $u^{\prime }=2500$, а по правилу сложной функции $v^{\prime }=2(R+10)\cdot (R+10{)}^{\prime }=2(R+10)$. Получаем

$$P^{\prime }(R)=\frac{2500(R+10{)}^2-2500R\cdot 2(R+10)}{(R+10{)}^4}.$$

Вынесем в числителе общий множитель $2500(R+10)$ и сократим дробь на $R+10\ne 0$:

$$P^{\prime }(R)=\frac{2500(R+10)((R+10)-2R)}{(R+10{)}^4}=\frac{2500(10-R)}{(R+10{)}^3}.$$

Производная существует при всех $R⩾0$.

Нули производной. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет:

$$2500(10-R)=0,R=10.$$

Других критических точек при $R⩾0$ нет.

Знаки производной. При $R⩾0$ знаменатель $(R+10{)}^3$ положителен, поэтому знак $P^{\prime }(R)$ совпадает со знаком выражения $10-R$: при $0⩽R<10$ производная положительна, при $R>10$ — отрицательна. Отметим знаки производной на промежутке $[0;+\infty )$:

Значит, функция $P(R)$ возрастает на отрезке $[0;10]$ и убывает на промежутке $[10;+\infty )$. Сначала мощность растёт, а после $R=10$ уменьшается, поэтому наибольшее значение достигается при $R=10$ Ом:

$$P(10)=\frac{2500\cdot 10}{20^2}=62,5\text{Вт}.$$

Заметим, что наибольшая мощность выделяется, когда сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника: $R=r$.

Ответ: $10$ Ом.