ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — рациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Поэтому уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-2x+a^2-4a=0,\\ x^2\ne a.\end{array}$$

Числитель — квадратный трёхчлен относительно $x$, у него не больше двух корней. Решения исходного уравнения — это те корни числителя, при которых знаменатель не обращается в ноль. Значит, уравнение имеет ровно два различных решения тогда и только тогда, когда одновременно выполнены два условия: уравнение $x^2-2x+a^2-4a=0$ имеет два различных корня, и ни один из этих корней не удовлетворяет равенству $x^2=a$.

Условие 1. Квадратное уравнение имеет два различных корня, когда его дискриминант положителен. Коэффициент при $x$ чётный, поэтому удобно считать $\frac{D}{4}$:

$$\frac{D}{4}=(-1{)}^2-\left(a^2-4a\right)=-a^2+4a+1>0\iff a^2-4a-1<0.$$

Корни трёхчлена $a^2-4a-1$ равны $a=2\pm \sqrt{4+1}=2\pm \sqrt{5}$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому трёхчлен отрицателен между корнями:

$$2-\sqrt{5}<a<2+\sqrt{5}.$$

Условие 2. Выясним, при каких $a$ какой-нибудь корень $x_0$ числителя обнуляет знаменатель, то есть $a=x_0^2$. Подставим $a=x_0^2$ в уравнение числителя:

$$x_0^2-2x_0+x_0^4-4x_0^2=0\iff x_0^4-3x_0^2-2x_0=0\iff x_0\left(x_0^3-3x_0-2\right)=0.$$

Многочлен $x^3-3x-2$ обращается в ноль при $x=-1$: $(-1{)}^3-3\cdot (-1)-2=0$. Значит, он делится на $x+1$. Разделив, получим

$$x^3-3x-2=(x+1)\left(x^2-x-2\right)=(x+1)(x+1)(x-2)=(x+1{)}^2(x-2).$$

Итак, $x_0(x_0+1{)}^2(x_0-2)=0$, откуда $x_0\in \{-1;0;2\}$, и соответствующие значения параметра $a=x_0^2$ равны $1$, $0$ и $4$.

При $a\notin \{0;1;4\}$ ни один корень числителя не обнуляет знаменатель. Проверим сами эти три значения.

При $a=0$ числитель $x^2-2x$ обращается в ноль при $x=0$ и $x=2$, но при $x=0$ знаменатель $x^2-0=0$. Остаётся одно решение $x=2$.

При $a=1$ числитель $x^2-2x-3$ обращается в ноль при $x=-1$ и $x=3$, но при $x=-1$ знаменатель $1-1=0$. Остаётся одно решение $x=3$.

При $a=4$ числитель $x^2-2x$ обращается в ноль при $x=0$ и $x=2$, но при $x=2$ знаменатель $4-4=0$. Остаётся одно решение $x=0$.

Во всех трёх случаях решение одно, поэтому эти значения не подходят. Все они лежат внутри промежутка из условия 1: $2-\sqrt{5}<0$, так как $\sqrt{5}>2$, и $4<2+\sqrt{5}$ по той же причине. Исключим их из промежутка:

Ответ: $a\in \left(2-\sqrt{5};0\right)\cup (0;1)\cup (1;4)\cup \left(4;2+\sqrt{5}\right)$.