ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и показательные выражения

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Приведём правую часть к основанию 7: $49^{\sin 2x}={\left(7^2\right)}^{\sin 2x}=7^{2\sin 2x}$. Уравнение принимает вид

$$7^{2\cos x}=7^{2\sin 2x}.$$

Функция $y=7^u$ монотонна, поэтому степени с одинаковым основанием равны только при равных показателях:

$$2\cos x=2\sin 2x\iff \cos x=\sin 2x.$$

По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Перенесём всё в одну часть и вынесем общий множитель $\cos x$:

$$\cos x-2\sin x\cos x=0\iff \cos x\left(1-2\sin x\right)=0.$$

Делить на $\cos x$ нельзя — так потерялись бы корни, в которых $\cos x=0$. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \sin x=\frac{1}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ x=\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $\pi$ — левая точка окружности, конец $\frac{5\pi }{2}=2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим III, IV и I четверти.

Запишем концы отрезка со знаменателем 6: $\pi =\frac{6\pi }{6}$, $\frac{5\pi }{2}=\frac{15\pi }{6}$.

Серия $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ — нижняя и верхняя точки, обе лежат на дуге. Нижней точке соответствует $\frac{3\pi }{2}$, верхней — $\frac{5\pi }{2}$ (конец отрезка). Соседние значения $\frac{\pi }{2}<\pi$ и $\frac{7\pi }{2}>\frac{5\pi }{2}$ лежат вне отрезка.

Серия $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ — точка в I четверти. При $k=1$ получаем $\frac{13\pi }{6}$, и $\frac{6\pi }{6}⩽\frac{13\pi }{6}⩽\frac{15\pi }{6}$ — корень подходит. Соседние значения $\frac{\pi }{6}<\pi$ и $\frac{25\pi }{6}>\frac{5\pi }{2}$ лежат вне отрезка.

Серия $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ — точка во II четверти, а II четверть на дугу не входит. Действительно, $\frac{5\pi }{6}<\pi$, а следующее значение $\frac{17\pi }{6}>\frac{15\pi }{6}$.

На отрезке лежат корни $\frac{3\pi }{2}$, $\frac{13\pi }{6}$, $\frac{5\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $\frac{\pi }{6}+2\pi k$, $\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{3\pi }{2}$, $\frac{13\pi }{6}$, $\frac{5\pi }{2}$.