ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Обозначим числа по кругу $a_1,a_2,\dots ,a_N$; номера считаем по кругу, то есть после $a_N$ снова идёт $a_1$.

Шаг 1. Все числа нечётны. Суммы $a_i+a_{i+1}+a_{i+2}$ и $a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3}$ обе нечётны, поэтому их разность $a_{i+3}-a_i$ чётна: числа $a_i$ и $a_{i+3}$ одной чётности.

Суммы $a_i+a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3}$ и $a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3}+a_{i+4}$ обе делятся на $4$, поэтому их разность делится на $4$:

$$a_{i+4}-a_i\text{делится на}4.$$

В частности, $a_{i+4}$ и $a_i$ одной чётности. Тогда $a_{i+4}$ и $a_{i+3}$ тоже одной чётности (обе совпадают по чётности с $a_i$). Это верно для любого $i$, то есть любые два соседних числа одной чётности, а значит, все числа одной чётности. Сумма трёх чётных чисел чётна, а по условию она нечётна, поэтому все числа нечётны.

Шаг 2. Сколько есть подходящих чисел. Нечётных чисел от $1$ до $365$ ровно $183$. Из них остаток $1$ при делении на $4$ дают числа $1,5,\dots ,365$ — их $92$, а остаток $3$ дают числа $3,7,\dots ,363$ — их $91$.

Шаг 3. Нечётное $N$. Мы знаем, что $a_{i+4}$ и $a_i$ дают одинаковый остаток при делении на $4$. Двигаясь от $a_1$ по кругу шагами по $4$ места, получаем, что одинаковый остаток дают $a_1,a_5,a_9,\dots$. Если $N$ нечётно, то числа $4$ и $N$ взаимно просты, и такими шагами мы обойдём все $N$ мест: номера $1,1+4,1+8,\dots ,1+4(N-1)$ дают разные остатки при делении на $N$, ведь если $4t_1$ и $4t_2$ дают одинаковый остаток, то $N$ делит $4(t_1-t_2)$, а значит, и $t_1-t_2$. Значит, при нечётном $N$ все числа дают один и тот же остаток при делении на $4$, и потому $N⩽92$.

а) Нет. Все числа нечётны, различны и не больше $365$, поэтому их не больше $183<200$.

б) Нет. Число $109$ нечётно, поэтому по шагу 3 все числа дают одинаковый остаток при делении на $4$, и чисел не больше $92<109$.

в) Ответ — $182$. Докажем это в две части: оценка и пример.

Оценка. По шагам 1 и 2 имеем $N⩽183$. Значение $N=183$ невозможно: это нечётное число, и по шагу 3 было бы $N⩽92$. Значит, $N⩽182$.

Пример. Расставим по кругу по возрастанию все нечётные числа от $1$ до $363$:

$$1,3,5,7,\dots ,361,363.$$

Их $\frac{363-1}{2}+1=182$, все они различны и не больше $365$. Остатки при делении на $4$ чередуются: $1,3,1,3,\dots$. Последнее число $363$ даёт остаток $3$, а следующее за ним по кругу число $1$ — остаток $1$, так что чередование сохраняется и на стыке.

Проверим условия. Сумма трёх нечётных чисел нечётна. Среди любых четырёх подряд идущих чисел два дают остаток $1$ и два — остаток $3$, поэтому их сумма даёт тот же остаток, что и $1+3+1+3=8$, то есть делится на $4$.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $182$.