ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №13 — кредиты

Задача из открытого банка ФИПИ с ответом и разбором. Введи ответ — проверим сразу.

1 балл на ЕГЭ 1 часть экзамена

№13 Кредиты средняя 2024

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 419 375 рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Разбор — 1 балл

Обозначим сумму кредита $S = 419375$ рублей, платёж за каждый из четырёх лет — $x$ рублей, а коэффициент роста долга — $k = 1 + \frac{20}{100} = \frac{6}{5}$ .

$Год 12 \dots 4 Долг до % S k S - x \dots \dots Долг после % k S k^{2} S - k x \dots \dots Платёж x x x x Долг после платежа k S - x k^{2} S - k x - x \dots 0$

После четвёртого платежа долг равен нулю:

$k^{4} S = x (k^{3} + k^{2} + k + 1) = x \cdot \frac{k ^{4} - 1}{k - 1},$

$x = S k^{4} \cdot \frac{k - 1}{k ^{4} - 1} .$

Подставим $k = \frac{6}{5}$ :

$x = S \cdot \frac{6 ^{4}}{5 ^{4}} \cdot \frac{\frac{1}{5}}{\frac{6 ^{4}}{5 ^{4}} - 1} = S \cdot \frac{6 ^{4}}{5 ^{4}} \cdot \frac{5 ^{3}}{6 ^{4} - 5 ^{4}} = 419375 \cdot \frac{6 ^{4}}{5 \cdot 671} .$

Так как $419375 : 3355 = 125$ , получаем

$x = 125 \cdot 1296 = 162000 рублей .$

Банк получает такой платёж четыре раза, поэтому общая сумма выплат равна

$4 \cdot 162000 = 648000 рублей .$

Ответ: $648000$ .

Ещё задания №13

13-0T94, средняя

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн рублей?

13-1A7W, средняя

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и банку будет выплачено 292820 рублей?

13-54CG, средняя

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 177 120 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Как решать №13 Решать дальше №13