ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Воспользуемся формулами косинуса суммы и синуса разности:

$$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta ,\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta .$$

Учитывая, что $\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем

$$2\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos x-\sin x\right)=\sqrt{2}\cos x-\sqrt{2}\sin x,$$

$$2\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sin x-\cos x\right)=\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\cos x.$$

Подставим в уравнение:

$$\sqrt{2}\cos x-\sqrt{2}\sin x+\sqrt{2}\sin x=\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\cos x+\sqrt{2}\cos x.$$

В левой части сокращаются слагаемые с $\sin x$, в правой — с $\cos x$. Разделим обе части на $\sqrt{2}$:

$$\cos x=\sin x\iff \sin x-\cos x=0.$$

Это однородное уравнение первой степени. Если $\cos x=0$, то из него и $\sin x=0$, что невозможно по основному тригонометрическому тождеству ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Значит, $\cos x\ne 0$, и обе части можно разделить на $\cos x$ без потери корней:

$$\mathrm{tg}x-1=0\iff \mathrm{tg}x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

На окружности эта серия даёт две диаметрально противоположные точки: $\frac{\pi }{4}$ (I четверть) и $\frac{5\pi }{4}$ (III четверть).

б) Отрезок $[-5\pi ;-4\pi ]$ имеет длину $\pi <2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $-5\pi =-6\pi +\pi$ — левая точка окружности, конец $-4\pi$ — правая точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим III и IV четверти, то есть нижнюю полуокружность.

На эту дугу попадает только точка $\frac{5\pi }{4}$ из III четверти. Точка $\frac{\pi }{4}$ лежит в I четверти и на дугу не попадает.

Переведём отмеченную точку в число отрезка: $\frac{5\pi }{4}-6\pi =-\frac{19\pi }{4}$. Запишем концы со знаменателем 4: $-5\pi =-\frac{20\pi }{4}$, $-4\pi =-\frac{16\pi }{4}$. Действительно, $-\frac{20\pi }{4}⩽-\frac{19\pi }{4}⩽-\frac{16\pi }{4}$, а соседние значения серии $-\frac{23\pi }{4}<-\frac{20\pi }{4}$ и $-\frac{15\pi }{4}>-\frac{16\pi }{4}$ лежат вне отрезка.

На отрезке лежит единственный корень $-\frac{19\pi }{4}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{19\pi }{4}$.