ЕГЭ по профильной математике 2027 Как решать задание №8 — вычисления и преобразования

Выражение $\left(\sqrt{13}-\sqrt{11}\right)\cdot \left(\sqrt{13}+\sqrt{11}\right)$ — это произведение разности и суммы одних и тех же чисел, то есть разность квадратов $a^2-b^2$ при $a=\sqrt{13}$, $b=\sqrt{11}$.

По формуле $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$$\left(\sqrt{13}-\sqrt{11}\right)\cdot \left(\sqrt{13}+\sqrt{11}\right)={\left(\sqrt{13}\right)}^2-{\left(\sqrt{11}\right)}^2=13-11.$$

Ответ: $2$.

Множитель $(a^2-36)$ — это разность квадратов $a^2-36=(a-6)(a+6)$, то есть ровно общий знаменатель дробей в скобках.

Приведём дроби к общему знаменателю:

$$\frac{1}{a-6}-\frac{1}{a+6}=\frac{(a+6)-(a-6)}{(a-6)(a+6)}=\frac{12}{a^2-36}.$$

Теперь умножим это на $(a^2-36)$:

$$(a^2-36)\cdot \frac{12}{a^2-36}=12.$$

Множитель $(a^2-36)$ сокращается, поэтому значение выражения равно $12$ при любом допустимом $a$ (где $a\ne \pm 6$). Громоздкое значение $a=\sqrt{17\frac{5}{101}}$ подставлять отдельно не нужно — достаточно убедиться, что оно не равно $\pm 6$, а это очевидно.

Ответ: $12$.

Под корнем стоит разность квадратов $65^2-56^2$. Разложим её по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$$65^2-56^2=(65-56)(65+56)=9\cdot 121.$$

Извлечём корень из произведения, воспользовавшись тем, что $\sqrt{xy}=\sqrt{x}\cdot \sqrt{y}$ при $x,y⩾0$:

$$\sqrt{9\cdot 121}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{121}=3\cdot 11=33.$$

Ответ: $33$.