ЕГЭ по профильной математике 2027 Как решать задание №9 — производная и первообразная

Разбор — 1 балл

Производная функции положительна в тех точках, где сама функция возрастает: график идёт вверх при движении слева направо, и касательная в этой точке имеет положительный угловой коэффициент. Там, где график идёт вниз, производная отрицательна, а в вершинах и впадинах касательная горизонтальна и производная равна нулю.

Пройдём по графику слева направо и отметим точки возрастания среди $x_1,\dots ,x_8$: это $x_1$, $x_3$, $x_4$, $x_5$ и $x_8$ — именно в них кривая поднимается вверх.

Таких точек пять.

Ответ: $5$.

Разбор — 1 балл

Если прямая $y=kx+b$ касается графика функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, то в этой точке выполняются сразу два условия: значения функции и прямой совпадают (точка общая), а производная функции равна угловому коэффициенту прямой (графики именно касаются, а не просто пересекаются):

$$\{\begin{array}{l}{x}^3+3x^2-2x+15=-5x+14,\\ {\left(x^3+3x^2-2x+15\right)}^{\prime }={\left(-5x+14\right)}^{\prime }.\end{array}$$

Перенесём все члены первого уравнения в одну сторону, а во втором найдём производные:

$$\{\begin{array}{l}{x}^3+3x^2+3x+1=0,\\ 3x^2+6x-2=-5.\end{array}$$

В левой части первого уравнения — разложение куба суммы $(x+1{)}^3=x^3+3x^2+3x+1$, а второе уравнение после переноса превращается в квадрат суммы:

$$\{\begin{array}{l}(x+1{)}^3=0,\\ 3(x+1{)}^2=0.\end{array}$$

Оба уравнения системы дают одно и то же значение:

$$x=-1.$$

Проверим: значение функции $f(-1)=(-1{)}^3+3\cdot 1-2\cdot (-1)+15=-1+3+2+15=19$, а значение прямой $-5\cdot (-1)+14=19$ — точки совпадают, касание подтверждено.

Ответ: $-1$.

Разбор — 1 балл

Уравнение $f^{\prime }(x)=0$ выполняется в тех точках, где касательная к графику функции горизонтальна: это точки экстремума — локальные максимумы и минимумы, в которых кривая меняет направление движения.

Пройдём по графику на отрезке $[-7;2]$ и отметим все точки смены направления. На этом отрезке таких точек семь.

Ответ: $7$.