ЕГЭ по профильной математике 2027 Как решать задание №7 — простейшие уравнения

Разбор — 1 балл

Уравнение содержит дробные коэффициенты, поэтому домножим обе части на $3$ — это избавит от знаменателей:

$$\frac{2}{3}x=-13\frac{1}{3}\Rightarrow 2x=-3\cdot 13\frac{1}{3}.$$

Переведём смешанное число в обычную дробь: $13\frac{1}{3}=\frac{40}{3}$, поэтому $3\cdot 13\frac{1}{3}=40$. Получаем

$$2x=-40.$$

Разделим обе части на $2$:

$$x=-20.$$

Ответ: $-20$.

Разбор — 1 балл

Логарифм в показателе степени определён только при положительном аргументе, поэтому сначала найдём ОДЗ:

$$8x+4>0\iff x>-0,5.$$

Основание $27=3^3$, поэтому по формуле перехода к другому основанию ${\log }_{27}a=\frac{1}{3}{\log }_{3}a$. Перепишем левую часть уравнения:

$$3^{{\log }_{27}(8x+4)}=3^{\frac{1}{3}{\log }_3(8x+4)}={\left(3^{{\log }_3(8x+4)}\right)}^{\frac{1}{3}}.$$

По основному логарифмическому тождеству $a^{{\log }_{a}b}=b$ выражение в скобках равно $8x+4$, значит уравнение принимает вид

$$(8x+4{)}^{\frac{1}{3}}=4.$$

Возведём обе части в третью степень:

$$8x+4=4^3=64,$$

$$8x=60,$$

$$x=7,5.$$

Это значение удовлетворяет ОДЗ ($7,5>-0,5$), поэтому оно и есть искомый корень.

Ответ: $7,5$.

Разбор — 1 балл

Логарифмы определены только для положительных аргументов, поэтому запишем ОДЗ:

$$\{\begin{array}{l}x+3>0,\\ 4x-15>0.\end{array}$$

Решая оба неравенства, получаем $x>-3$ и $x>3,75$ — значит, ОДЗ задаётся условием $x>3,75$.

Логарифмы в обеих частях имеют одно и то же основание $4$, поэтому равенство логарифмов означает равенство их аргументов:

$$x+3=4x-15.$$

Перенесём неизвестные в одну сторону, числа — в другую:

$$4x-x=3+15,$$

$$3x=18,$$

$$x=6.$$

Проверим ОДЗ: $6>3,75$ — подходит.

Ответ: $6$.