ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №7 — логарифмические уравнения

Разбор — 1 балл

Логарифм в показателе степени определён только при положительном аргументе, поэтому сначала найдём ОДЗ:

$$8x+4>0\iff x>-0,5.$$

Основание $27=3^3$, поэтому по формуле перехода к другому основанию ${\log }_{27}a=\frac{1}{3}{\log }_{3}a$. Перепишем левую часть уравнения:

$$3^{{\log }_{27}(8x+4)}=3^{\frac{1}{3}{\log }_3(8x+4)}={\left(3^{{\log }_3(8x+4)}\right)}^{\frac{1}{3}}.$$

По основному логарифмическому тождеству $a^{{\log }_{a}b}=b$ выражение в скобках равно $8x+4$, значит уравнение принимает вид

$$(8x+4{)}^{\frac{1}{3}}=4.$$

Возведём обе части в третью степень:

$$8x+4=4^3=64,$$

$$8x=60,$$

$$x=7,5.$$

Это значение удовлетворяет ОДЗ ($7,5>-0,5$), поэтому оно и есть искомый корень.

Ответ: $7,5$.