ЕГЭ по профильной математике 2027 Как решать задание №6 — случайные величины

Обозначим через $X$ случайную величину «выигрыш на один билет». Вероятность выпадения конкретного выигрыша равна числу билетов с этим выигрышем, делённому на общее количество билетов — $10000$. У билетов без выигрыша значение $X$ равно нулю, и соответствующее слагаемое в сумме для математического ожидания равно нулю, поэтому его можно не выписывать.

По формуле математического ожидания дискретной случайной величины $\mathrm{E}(X)=\sum x_i{p}_i$ получаем:

$$\mathrm{E}(X)=100\cdot \frac{500}{10000}+1000\cdot \frac{100}{10000}+5000\cdot \frac{50}{10000}+10000\cdot \frac{10}{10000}+50000\cdot \frac{1}{10000}.$$

Знаменатель у всех слагаемых одинаков, поэтому сначала сложим числители, а затем один раз разделим на $10000$:

$$\mathrm{E}(X)=\frac{100\cdot 500+1000\cdot 100+5000\cdot 50+10000\cdot 10+50000\cdot 1}{10000}=\frac{550000}{10000}=55.$$

Ответ: $55$.

Пусть $X$ — выигрыш, который получит случайно выбранный покупатель. Всего выпущено $50000$ билетов, поэтому вероятность каждого выигрыша — это количество соответствующих билетов, делённое на $50000$. Безвыигрышные билеты дают нулевое значение $X$ и не влияют на сумму.

$$\mathrm{E}(X)=100\cdot \frac{500}{50000}+500\cdot \frac{100}{50000}+1000\cdot \frac{10}{50000}+50000\cdot \frac{5}{50000}+100000\cdot \frac{1}{50000}.$$

Сложим числители всех слагаемых и один раз разделим на $50000$:

$$\mathrm{E}(X)=\frac{100\cdot 500+500\cdot 100+1000\cdot 10+50000\cdot 5+100000\cdot 1}{50000}=\frac{460000}{50000}=9,2.$$

Ответ: $9,2$.

Пусть $X$ — выигрыш, который получит случайно выбранный покупатель билета. Всего выпущено $10000$ билетов, поэтому вероятность каждого выигрыша равна числу билетов с этим выигрышем, делённому на $10000$. Слагаемое для безвыигрышных билетов равно нулю, его можно пропустить.

$$\mathrm{E}(X)=100\cdot \frac{100}{10000}+500\cdot \frac{50}{10000}+1000\cdot \frac{10}{10000}+50000\cdot \frac{2}{10000}+100000\cdot \frac{1}{10000}.$$

Сложим числители и один раз разделим на $10000$:

$$\mathrm{E}(X)=\frac{100\cdot 100+500\cdot 50+1000\cdot 10+50000\cdot 2+100000\cdot 1}{10000}=\frac{245000}{10000}=24,5.$$

Ответ: $24,5$.