ЕГЭ по профильной математике 2027 Как решать задание №3 — стереометрия

Пусть $S$ — общая площадь основания конуса и цилиндра, а $h$ — их общая высота. Объём конуса равен

$$V_{\text{к}}=\frac{1}{3}Sh,$$

а объём цилиндра

$$V_{\text{ц}}=Sh,$$

то есть цилиндр с такими же основанием и высотой втрое больше конуса:

$$V_{\text{ц}}=3V_{\text{к}}.$$

По условию $V_{\text{к}}=48,$ поэтому

$$V_{\text{ц}}=3\cdot 48=144.$$

Ответ: 144.

Цилиндр и конус имеют общие основание (один и тот же круг радиуса $r$) и высоту $h$. Объём конуса находится по формуле

$$V_{\text{к}}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h.$$

Объём цилиндра с тем же основанием и высотой равен

$$V_{\text{ц}}=\pi r^{2}h.$$

Сравним формулы: $V_{\text{ц}}=3\cdot \frac{1}{3}\pi r^{2}h=3V_{\text{к}}$, то есть при равных основании и высоте объём цилиндра всегда в три раза больше объёма конуса. По условию $V_{\text{к}}=6$, поэтому

$$V_{\text{ц}}=3\cdot 6=18.$$

Ответ: $18$.

Пусть $r$ — радиус основания, а $h$ — высота исходного конуса. Его объём равен

$$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h.$$

Радиус основания не меняется, а высота уменьшается в $9$ раз и становится равной $\frac{h}{9}$. Объём нового конуса:

$$V^{\prime }=\frac{1}{3}\pi r^2\cdot \frac{h}{9}=\frac{1}{9}\cdot \frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{9}V.$$

Значит, объём конуса уменьшится в $9$ раз.

Ответ: $9$.