ЕГЭ по профильной математике 2027 Как решать задание №2 — векторы

Чтобы сложить два вектора, заданных координатами, нужно сложить их соответствующие координаты. Для векторов $\vec{a}(3;4)$ и $\vec{b}(5;2)$ получаем

$$\vec{a}+\vec{b}=(3+5;4+2)=(8;6).$$

Длина вектора с координатами $(x;y)$ находится по формуле $|\vec{v}|=\sqrt{x^2+y^2}$ — это теорема Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами, равными модулям координат вектора. Значит,

$$\left|\vec{a}+\vec{b}\right|=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10.$$

Ответ: $10$.

Координаты вектора на клетчатой плоскости равны разности координат его конца и начала. По рисунку вектор $\vec{a}$ отложен из точки $(4;2)$ в точку $(6;3)$, поэтому

$$\vec{a}=(6-4;3-2)=(2;1).$$

Вектор $\vec{b}$ отложен из точки $(3;0)$ в точку $(2;5)$, поэтому

$$\vec{b}=(2-3;5-0)=(-1;5).$$

При умножении вектора на число умножаются обе его координаты, а при вычитании векторов вычитаются соответствующие координаты. Значит,

$$5\vec{b}-\vec{a}=\left(5\cdot (-1)-2;5\cdot 5-1\right)=(-7;24).$$

Длину вектора находим по формуле $|\vec{v}|=\sqrt{x^2+y^2}$:

$$\left|5\vec{b}-\vec{a}\right|=\sqrt{(-7{)}^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25.$$

Ответ: $25$.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1;y_1)$ и $\vec{b}(x_2;y_2)$ равно сумме произведений их соответствующих координат:

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2.$$

Для векторов $\vec{a}(5;3)$ и $\vec{b}(-3;6)$ получаем

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=5\cdot (-3)+3\cdot 6=-15+18=3.$$

Ответ: $3$.